LX OM - I - Zadanie 3

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest styczny do boków $ BC $, $ CA $, $ AB $ odpowiednio w punktach
$ D $, $ E $, $ F $ . Punkty $ M $, $ N $, $ J $ są odpowiednio środkami okręgów wpisanych w trójkąty
$ AEF $ , $ BDF $ , $ DEF $ . Dowieść, że punkty $ F $ i $ J $ są symetryczne względem prostej $ MN $.

Rozwiązanie

om60_1r_img_2.jpg

Udowodnimy najpierw, że punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami krótszych łuków $ FE $ i $ FD $
okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Rzeczywiście, niech $ M' $ będzie środkiem krótszego łuku $ FE $ tego
okręgu. Prosta $ AC $ jest doń styczna w punkcie $ E $, zatem (rys. 2)

\[<br />
(1) \qquad \measuredangle AEM' = \measuredangle  EFM' .<br />
\]

Ponieważ punkt $ M' $ jest środkiem łuku $ EF $, więc trójkąt
$ EM'F $ jest równoramienny. Wobec tego $ \measuredangle EFM' = \measuredangle FEM' $, co wraz
z równością (1) dowodzi, że punkt $ M' $ leży na dwusiecznej kąta $ \measuredangle AEF $ . Analogicznie dowodzimy,
iż punkt ten leży na dwusiecznej kąta $ \measuredangle AFE $, więc pokrywa się on
ze środkiem $ M $ okręgu wpisanego w trójkąt $ AEF $. Podobnie rozumujemy
dla punktu $ N $.

Okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $ jest jednocześnie okręgiem opisanym
na trójkącie $ DEF $. Skoro $ M $ jest środkiem krótszego łuku $ EF $ tego
okręgu, prosta $ DM $ zawiera dwusieczną kąta $ \measuredangle EDF $. Na tej prostej
leży więc punkt $ J $, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten kąt.
Analogicznie dochodzimy do wniosku, że punkt $ J $ leży na prostej $ EN $.

Aby uzasadnić, że punkty $ J $ i $ F $ są symetryczne względem prostej
$ MN $, wystarczy wykazać, iż trójkąty $ MFN $ oraz $ MJN $ są przystające,
gdyż będzie to oznaczało, że są one symetryczne względem prostej $ MN $.
Mamy jednak

\[<br />
\measuredangle JMN = \measuredangle DMN = \measuredangle FMN,<br />
\]

gdzie druga równość wynika z tego, że $ N $ jest środkiem łuku $ FD $.
Podobnie dostajemy $ \measuredangle JNM =\measuredangle FNM $. Trójkąty $ MFN $ i $ MJN $ mają więc
równe odpowiednie kąty oraz wspólny bok $ MN $, zatem są przystające
(cecha kąt-bok-kąt). Kończy to rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź