LVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ ABCD $, nie będącym równoległobokiem, zachodzi równość $ AB=CD $. Punkty $ M $ i $ N $ są odpowiednio środkami przekątnych $ AC $ i $ BD $. Dowieść, że rzuty prostokątne odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostą $ MN $ są odcinkami o jednakowej długości, równej długości odcinka $ MN $.

Rozwiązanie

Niech punkt $ E $ będzie środkiem boku $ AD $, zaś punkt $ F $ - środkiem odcinka $ MN $ (rys. 1).

om58_1r_img_1.jpg

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że $ EM\parallel DC $ oraz $ EM={1\over 2}DC $. Analogicznie uzyskujemy zależności $ EN\parallel AB $ i $ EN={1\over 2}AB $. Stąd i z równości $ DC=AB $ otrzymujemy $ EM=EN $. Trojkąt $ MEN $ jest zatem równoramienny, co oznacza, że $ EF\perp MN $. Wobec tego rzutem prostokątnym odcinka $ EN $ na prostą $ MN $ jest odcinek $ FN $; a ponieważ odcinek $ AB $ jest równoległy do odcinka $ EN $ i ma dwukrotnie większą długość, więc rzutem odcinka $ AB $ na prostą $ MN $ jest odcinek o długości $ 2\cdot FN=MN $.

Analogicznie dowodzimy, że rzut prostokątny odcinka $ CD $ na prostą $ MN $ jest odcinkiem o długości $ MN $, co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź