XXIX OM - I - Zadanie 10

Punkt $ O $ jest punktem wewnętrznym czworokąta wypukłego $ ABCD $, $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, $ D_1 $ są rzutami prostokątnymi punktu $ O $ odpowiednio na proste $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $, $ A_{i+1} $, $ B_{i+1} $, $ C_{i+1} $, $ D_{i+1} $ są odpowiednio rzutami prostokątnymi punktu $ O $ na proste $ A_iB_i $, $ B_iC_i $, $ C_iD_i $, $ D_iA_i $. Dowieść, że czworokąty $ A_4B_4C_4D_4 $ i $ ABCD $ są podobne.

Rozwiązanie

Konstrukcja podana w zadaniu nie zawsze jest wykonalna. Na przykład trzy z punktów $ A_{i+1} $, $ B_{i+1} $, $ C_{i+1} $, $ D_{i+1} $ mogą należeć do jednej prostej. Wtedy zadanie traci sens. Podamy więc rozwiązanie zadania przy dodatkowym założeniu, że wszystkie rozważane czworokąty istnieją i są wypukłe.
Ponieważ $ \measuredangle OD_1A + \measuredangle OA_1A = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $, więc na czworokącie $ OA_1AD_1 $ można opisać koło. Miary kątów wpisanych w koło i opartych na tym samym łuku są równe. Wobec tego $ \measuredangle OAD  = \measuredangle OA_1D_1 $ (rys. 8). Analogicznie dowodzimy, że $ \measuredangle OA_2D_2  = \measuredangle OA_2D_2 = \measuredangle OA_3D_3 = \measuredangle OA_4D_4 $.

Rozumując podobnie otrzymujemy $ \measuredangle ODA = \measuredangle OC_1D_1 = \measuredangle OB_2C_2 = \measuredangle OA_3B_3 = \measuredangle OD_4A_4 $. Trójkąty $ OAD $ i $ OA_4D_4 $ są podobne, ponieważ po dwa odpowiednie kąty w tych trójkątach mają równe miary. Wobec tego $ \displaystyle \frac{OA}{AD} = \frac{OA_4}{A_4D_4} $. Analogicznie dowodzimy, że $ \displaystyle \frac{OA}{AB} = \frac{OA_4}{A_4B_4} $. Zatem $ \displaystyle \frac{AB}{A_4B_4} = \frac{AD}{A_4D_4} $, i podobnie $ \displaystyle \frac{AB}{A_4B_4} = \frac{BC}{B_4C_4} = \frac{CD}{C_4D_4} $.
om29_1r_img_8.jpg
Udowodniliśmy też, że $ \measuredangle OAD = \measuredangle OA_4D_4 $. Podobnie dowodzi się, że $ \measuredangle OAB = \measuredangle OA_4B_4 $ i stąd $ \measuredangle BAD = \measuredangle OAB + \measuredangle OAD = \measuredangle OA_4B_4 + \measuredangle OA_4D_4 = \measuredangle B_4A_4D_4 $. Analogicznie można wykazać, że miary pozostałych kątów czworokąta $ ABCD $ są równe miarom odpowiednich kątów czworokąta $ A_4B_4C_4D_4 $.

Tak więc odpowiednie boki tych czworokątów są proporcjonalne, a miary odpowiednich kątów są równe. Wobec tego czworokąty te są podobne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź