XXIX OM - I - Zadanie 11

Niech $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ będzie funkcją ciągłą, dla której istnieje liczba $ x $ spełniająca warunki: $ f(f(f(x))) = x $, $ f(x) \neq x $.
Udowodnić, że istnieją takie liczby $ y_1 $, $ y_2 $, $ y_3 $, że $ y_i \neq y_j $ dla $ i \neq j $ oraz $ f(f(y_k))=y_k $ dla $ k = 1, 2, 3 $.
Uwaga. Wiadomo, że każda funkcja ciągła $ g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ma własność Darboux, to znaczy jeżeli $ a < b $ i $ d $ jest zawarte pomiędzy $ g(a) $ i $ g(b) $, to istnieje taka liczba $ c \in [a, b] $, że $ g(c) = d $.

Rozwiązanie

Gdyby zachodziło $ ff(x) = x $, to mielibyśmy $ fff(x) = f(x) $, czyli $ x =f(x) $ wbrew założeniu. Zatem $ ff(x) \ne x $. Podobnie z równości $ ff(x) = f(x) $ wynika, że $ fff(x) = ff(x) $, czyli $ x = ff(x) $. Udowodniliśmy jednak, że ta ostatnia równość nie zachodzi. Zatem $ ff(x) \ne f(x) $.

Wobec tego liczby $ x $, $ f(x) $, $ f(x) $ są parami różne. Oznaczmy najmniejszą z nich przez $ a $, największą przez $ c $, a pozostałą przez $ b $. Zatem $ a < b < c $. Z warunków zadania wynika, że funkcja $ f $ określa permutację zbioru $ \{a, b, c\} $ i $ f(a) \ne a $, $ f(b) \ne b $, $ f(c) \ne c $.

Rozpatrzmy przypadek, gdy $ f(a) = c $. Jeżeli $ f(a) = b $, to rozumowanie przebiega podobnie. Mamy więc $ f(b) = a $ i $ f(c) = b $.

Funkcja ciągła $ f(t) $ na końcach przedziału $ \langle a, b \rangle $ przybiera wartości $ c $ i $ a $. Wobec tego na mocy własności Darboux w pewnym punkcie z tego przedziału funkcja $ f(t) $ przybiera wartość pośrednią $ b $, to znaczy $ a < z < b $ i $ f(z) = b $. Dla rozwiązania zadania wystarczy oczywiście udowodnić, że funkcja $ g(t) =ff(t) - t $ ma co najmniej trzy miejsca zerowe. Mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
& g(a) = ff(a)- a = b - a > 0,\\<br />
& g(z) = ff(z)- z = f(b) - z = a - z < 0,\\<br />
& g(b) = ff(b)- b = c- b > 0 ,\\<br />
& g(c) = ff(c)- c = a-c < 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Tak więc funkcja $ g(t) $ na końcach każdego z przedziałów $ \langle a, z \rangle $, $ \langle z, b \rangle $, $ \langle b, c \rangle $ przybiera wartości przeciwnych znaków. Wobec tego na mocy własności Darboux ma ona w każdym z tych przedziałów co najmniej jedno miejsce zerowe.

Uwaga. Dla dowolnej liczby naturalnej $ n $ niech $ f_n $ będzie $ n $-krotną iteracją funkcji $ f $, to znaczy $ f_n(x) =f(f(\ldots (f(x))\ldots)) $ ($ n $ razy). Powiemy, że liczba rzeczywista $ x $ ma okres $ n $, jeżeli $ f_n(x) = x $ oraz $ f_m(x) \ne x $ dla $ m < n $. Nasze zadanie można więc sformułować tak: {\it Dowieść, że jeżeli dla funkcji ciągłej $ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ istnieje liczba $ x $ okresu $ 3 $, to istnieją trzy liczby $ y_1, y_2, y_3 $ okresu $ 2 $ lub $ 1 $.}

Zachodzi następujące ogólne twierdzenie Szarkowskiego: Ustawmy wszystkie liczby naturalne, jak następuje

\[<br />
(1) \qquad 3, 5, 7, 11, \ldots, 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2 \cdot 7,  \ldots , 4 \cdot 3, 4 \cdot 5,  \ldots , 8, 4, 2, 1.<br />
\]

Na początku jest ciąg rosnący wszystkich liczb pierwszych, potem ciąg liczb pierwszych pomnożonych przez $ 2 $, przez $ 4 $, itd., wreszcie - ciąg malejący wszystkich potęg liczby $ 2 $.

Twierdzenie Szarkowskiego mówi, że jeżeli dla funkcji ciągłej $ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ istnieje liczba okresu $ n $, to istnieje też liczba okresu $ m $, o ile w ciągu (1) liczba $ m $ występuje po liczbie $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź