XXIX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ 0 < x \leq \frac{1}{2} $, $ 0 < y \leq \frac{1}{2} $

\[<br />
\frac{(x+y)^2}{xy} \geq \frac{(2-x-y)^2}{(1-x)(1-y)}<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{1} Ponieważ na mocy warunków zadania liczby $ x $, $ y $, $ 1-x $, $ 1-y $ są dodatnie, więc mnożąc stronami podaną w zadaniu nierówność przez $ xy (1 -x) (1 -y) $ otrzymamy nierówność równoważną

\[<br />
(1 -x)(1 -y)(x+y)^2 \geq xy(2-x-y)^2.<br />
\]

Wymnażając nawiasy i przenosząc wszystkie wyrazy na stronę lewą otrzymamy

\[<br />
x^2 + y^2 - 2xy - x^3 - y^3 + x^2y + xy^2 \geq 0,<br />
\]

czyli $ (x - y)^2(1 - x - y) \geq 0 $. Ta ostatnia nierówność równoważna nierówności podanej w zadaniu jest prawdziwa, ponieważ $ x + y \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $, czyli $ 1 - x - y \geq 0 $. Zatem nierówność podana w zadaniu też jest prawdziwa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź