XXIX OM - II - Zadanie 4

Spośród wierzchołków $ 2n $-kąta foremnego wybrano losowo 3 różne punkty. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem zdarzenia, że trójkąt o wierzchołkach w wybranych punktach jest ostrokątny. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.
Uwaga. Zakładamy, że wszystkie wybory trzech różnych punktów są jednakowo prawdopodobne.

Rozwiązanie

Niech $ A_1, A_2, \ldots , A_{2n} $ będą kolejnymi wierzchołkami $ 2n $-kąta foremnego, a $ O $ - środkiem koła opisanego na tym wielokącie. Zbadamy, ile jest takich trójkątów $ A_1A_iA_j $, gdzie $ i < j $, że kąt $ \measuredangle A_iA_1A_j $ nie jest ostry.

Ponieważ kąt wpisany w koło ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy oparty na tym samym łuku, więc

\[<br />
\measuredangle A_iA_1A_j = \frac{1}{2} \measuredangle A_iOA_j =<br />
\frac{j-i}{2} \cdot \frac{2\pi}{2n} = \frac{j-i}{n} \cdot \frac{\pi}{2}.<br />
\]

Zatem $ \measuredangle A_iA_1A_j $ nie jest ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $ j - i \geq n $. Obliczymy więc, ile jest takich par $ (i, j) $, że

\[<br />
(1) \qquad 2 \leq i <j \leq 2n \ \textrm{oraz}\ j - i \geq n.<br />
\]

Z nierówności tych wynika, że $ i \leq j - n \leq 2n - n = n $. Dla każdego $ i $ spełniającego $ 2 \leq i \leq n $ mamy $ n - i + 1 $ wartości na $ j $ spełniających (1), mianowicie $ j = i + n, i+ n + 1, \ldots, 2n $. Zatem poszukiwana liczba par jest równa

\[<br />
\sum_{i=2}^n (n-i+1) = (n-1) + (n- 2)+  \ldots  + 2+ 1 = \frac{n(n-1)}{2}.<br />
\]

Udowodniliśmy więc, że liczba trójkątów nieostrokątnych $ A_1A_iA_j $, w których kąt $ \measuredangle A_iA_1A_j $ jest nieostry, jest równa $ \frac{n(n-1)}{2} $. Ponieważ w trójkącie co najwyżej jeden kąt jest nieostry, więc liczba wszystkich trójkątów nieostrokątnych $ A_iA_jA_k $ jest równa

\[<br />
2n \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n^2 (n-1).<br />
\]

Liczba wszystkich trójkątów $ A_iA_jA_k $ jest równa liczbie podzbiorów trójelementowych zbioru $ 2n $-elementowego $ \{A_1, A_2,  \ldots , A_{2n} \} $, to znaczy liczbie

\[<br />
\binom{2n}{3} = \frac{2n (2n-1)(2n-2)}{6} = \frac{2n (n-1)(2n-1)}{3}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
p_n = 1 - \frac{n^2(n-1)}{ \binom{2n}{3}} = 1 - \frac{3n}{2(2n-1)} = 1 - \frac{3}{4-\frac{2}{n}}.<br />
\]

Zatem $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.
om29_2r_img_12.jpg
Uwaga. Trójkąt $ A_1A_iA_j $, gdzie $ 1 < i < j \leq 2n $, jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ i \leq n $, $ j > n $ oraz $ j - i < n $. Przyporządkowując trójkątowi $ A_1A_iA_j $ punkt $ (i,j) $ widzimy, że trójkątom ostrokątnym odpowiadają punkty kratowe położone w zakreskowanym trójkącie (rys. 12), a dowolnym trójkątom - punkty kratowe należące do trójkąta $ AOB $. Stosunek liczby punktów kratowych w trójkącie zakreskowanym do liczby wszystkich punktów kratowych w trójkącie $ AOB $ dąży przy $ n \to \infty $ do stosunku pól tych trójkątów. Ten stosunek pól jest równy $ \frac{1}{4} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź