XXIX OM - III - Zadanie 1

W danym kącie wypukłym na płaszczyźnie biegnie promień światła odbijając się od ramion kąta zgodnie z zasadą, że kąt padania równa się kątowi odbicia. Promień, który trafi w wierzchołek kąta, zostaje pochłonięty. Udowodnić, że istnieje taka liczba naturalna $ n $, że każdy promień może odbić się od ramion kąta co najwyżej $ n $ razy.

Rozwiązanie

Jeżeli promień światła wychodząc z punktu $ C $ odbija się od jednego z ramion danego kąta w punkcie $ P $, a następnie od, drugiego ramienia w punkcie $ Q $, to dokonując symetrii $ \varphi $ względem prostej $ OP $, gdzie $ O $ jest wierzchołkiem danego kąta, stwierdzamy, że punkty $ C $, $ P $ i $ \varphi(Q) $ są współliniowe (rys. 15). Wynika to z równości kątów $ \measuredangle CPA = \measuredangle QPO = \measuredangle \varphi(Q)PO $.
om29_3r_img_15.jpgom29_3r_img_16.jpg
Wobec tego zadanie sprowadza się do następującego: Z punktu $ O $ prowadzimy półproste $ m_1, m_2, \ldots, m_k, m_{k+1},  \ldots $ tak, że $ \measuredangle (m_i, m_{i+1}) = \theta  $ dla $ i = 1, 2,  \ldots $ (rys. 16). Należy udowodnić, że istnieje liczba naturalna $ n $ o tej własności, że każda półprosta $ m $ przechodząca przez pewien punkt położony wewnątrz kąta $ \measuredangle (m_1, m_2) $ i przecinająca półprostą $ m_2 $ przecina kolejno nie więcej niż $ n $ z narysowanych półprostych.

By to udowodnić, wystarczy tak obrać $ k $, by $ (k - 2)\theta < \pi \leq (k - 1)\theta $. Wtedy $ \measuredangle (m_2, m_{k+1}) = (k - 1)\theta \geq \pi $ i półprosta $ m $ przecinając półprostą $ m_2 $ nie przetnie już półprostej $ m_{k+1} $, ponieważ półproste $ m_3 $ i $ m_{k+1} $ nie leżą w tej samej półpłaszczyźnie otwartej wyznaczonej przez prostą zawierającą półprostą $ m_2 $. Tak więc półprosta $ m $ przetnie co najwyżej $ k - 1 $ danych półprostych $ m_2, m_3,  \ldots ,m_k $, gdzie $ k - 2 < \frac{\pi}{\theta} $, to znaczy $ k - 1 < \frac{\pi}{\theta} + 1 $. Zatem promień światła odbije się od ramion danego kąta mniej niż $ \frac{\pi}{\theta} + 1 $ razy. Wystarczy więc przyjąć $ n = \left[ \frac{\pi}{\theta} \right] + 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź