XXIX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
x^{2m} \cdot P(x, y) + y^{2m} \cdot Q(x, y) = (x+y)^{2m} \cdot R(x, y),<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną, $ P, Q, R $ są wielomianami stopni mniejszych od $ m $, to każdy z tych wielomianów jest wielomianem zerowym.
Uwaga. Stopniem wielomianu niezerowego $ W(x, y) = \sum a_{ij}x^iy_^j $ nazywamy maksymalną liczbę całkowitą $ i + j $, dla której $ a_{ij}\neq 0 $. Za stopień wielomianu zerowego przyjmujemy liczbę 0.

Rozwiązanie

\spos{1} Jeżeli wielomian $ P(x,y) $ nie jest zerowy, to istnieje taka liczba $ a \ne 0 $, że wielomian jednej zmiennej $ P(x, a) $ nie jest zerowy. Podstawiając w równości danej w zadaniu $ y = a $ otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad x^{2m} \cdot P (x, a) + a^{2m} \cdot Q (x, a) = (x + a)^{2m} \cdot R (x, a).<br />
\]

Wielomian $ F(x) $ stojący po lewej stronie równości (1) nie jest zerowy i jest sumą co najwyżej $ 2m $ jednomianów, ponieważ z założenia stopień każdego z wielomianów $ P(x, a) $ i $ Q (x, a) $ jest mniejszy od $ m $.

Z drugiej strony z (1) wynika, że liczba $ (-a) $ jest co najmniej $ 2m $-krotnym pierwiastkiem wielomianu $ F(x) $.

Na mocy zadania 24(6) z XXVIII Olimpiady Matematycznej uzyskaliśmy sprzeczność.

Wobec tego wielomian $ P(x, y) $ jest zerowy. Analogicznie dowodzimy, że wielomian $ Q(x,y) $ jest zerowy, a wobec tego i,wielomian $ R (x, y) $ jest zerowy.

Komentarze

błąd

w uwadze, w wielomianie W, powinno być y^j zamiast y_j

Dodaj nową odpowiedź