XXIX OM - III - Zadanie 5

Dana jest liczba rzeczywista $ a $. Definiujemy ciąg $ (a_n) $ w sposób następujący

\[<br />
a_1 = a,<br />
\]
\[<br />
a_{n+1} =<br />
\begin{cases}<br />
\frac{1}{2}\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right), & \mathrm{ jeżeli }a_n \neq 0, \\<br />
0, &\mathrm{ jeżeli } a_n = 0.<br />
\end{cases}<br />
\]

Udowodnić, że ciąg $ (a_n) $ ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych i nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich.

Rozwiązanie

Jeżeli pewien wyraz ciągu $ (a_n) $ jest równy zeru, to wszystkie następne wyrazy tego ciągu też są równe zeru i teza zadania jest spełniona. Załóżmy więc, że wszystkie wyrazy ciągu $ (a_n) $ są różne od zera.

Niech $ d_n = a_{n+1} - a_n $. Obliczamy, że

\[<br />
d_n^2 = (a_{n+1} - a_n)^2 = a_{n+1}^2 - 2a_na_{n+1} + a_n^2 = a_{n+1}^2 + 1 > 1.<br />
\]

Zatem $ |d_n| > 1 $.

Jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy ciągu $ (a_n) $ są dodatnie, to $ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n - \frac{1}{a_n} \right) < \frac{1}{2} a_n < a_n $, to znaczy ciąg $ (a_n) $ jest malejący. Jednak ciąg malejący, którego wyrazy kolejne różnią się więcej niż o $ 1 $, nie może zawierać tylko wyrazów dodatnich.

Jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy ciągu są ujemne, to $ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n - \frac{1}{a_n} \right) > \frac{1}{2} a_n > a_n $, to znaczy ciąg $ (a_n) $ jest rosnący.

Jednak ciąg rosnący, którego wyrazy, kolejne różnią się więcej niż o $ 1 $, nie może zawierać tylko wyrazów ujemnych.

Wobec tego ciąg $ (a_n) $ zawiera nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź