XXIX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $ h_1, h_2, h_3, h_4 $ są długościami czterech wysokości, $ d_1, d_2, d_3 $ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to

\[<br />
\frac{1}{h_1^2} + \frac{1}{h_2^2} + \frac{1}{h_3^2} + \frac{1}{h_4^2} =<br />
\frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2} + \frac{1}{d_3^2}<br />
\]

Rozwiązanie

Niech dany będzie czworościan $ ABCD $. Rozpatrzmy graniastosłup $ ABCDEF $ o podstawie $ ABC $ i tworzącej $ \overline{AD} $. Objętość $ V_S $ tego graniastosłupa jest trzy razy większa od objętości $ V $ danego czworościanu. Poza tym $ V = \frac{1}{3}h_1 \cdot S_{ABC} $, gdzie $ h_1 $ jest długością wysokości czworościanu poprowadzonej z wierzchołka $ D $.
om29_3r_img_17.jpg
Rozważany graniastosłup jest sumą danego czworościanu i ostrosłupa $ BCDEF $ (rys. 17). Wobec tego $ V_S = V + \frac{1}{3} d_1 \cdot S_1 $, gdzie $ d_1 $ jest długością wysokości ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka $ D $, czyli odległością krawędzi przeciwległych $ \overline{AD} $ i $ \overline{BC} $ danego czworościanu, a $ S_1 $ - polem równoległoboku wyznaczonego przez parę wektorów $ \overrightarrow{BC} $ i $ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AD} $ odpowiadających parze krawędzi przeciwległych $ \overline{BC} $ i $ \overline{AD} $ danego czworościanu.

Z powyższych zależności otrzymujemy

\[<br />
\frac{1}{h_1} = \frac{S_{ABC}}{3V} \ \textrm{i} \ \frac{1}{d_1} = \frac{S_1}{6v}.<br />
\]

Analogicznie znajdujemy podobne wyrażenia dla $ h_2 $, $ h_3 $, $ h_4 $, $ d_2 $, $ d_3 $. Podstawiając je do równości podanej w zadaniu dochodzimy do równości równoważnej:

\[<br />
(1) \qquad 4 (S^2_{ABC} + S2_{BCD} + S2_{ACD} + S2_{ABD}) = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2,<br />
\]

gdzie $ S_1 $, $ S_2 $, $ S_3 $ są polami równoległoboków wyznaczonych przez wektory odpowiadające parom krawędzi przeciwległych danego czworościanu.

Udowodnimy wzór (1) za pomocą rachunku wektorowego. Kwadrat pola równoległoboku wyznaczonego przez wektory $ \overrightarrow{u} $ i $ \overrightarrow{v} $ jest
równy $ (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} )^2 $. Oznaczając $ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} $, $ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{AD} $ otrzymamy $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} $. Wobec tego równość (1) przyjmuje postać

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) \qquad & (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2 + ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} -\overrightarrow{a}))^2 + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 =\\<br />
&\quad = ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{c})^2 +<br />
((\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{a})^2 +<br />
((\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b})^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Przekształcamy stronę prawą $ P $ równości (2) korzystając z następujących praw działań na wektorach:

\[<br />
\begin{split}<br />
 (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \times \overrightarrow{w} &=<br />
\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w},\<br />
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w},\\<br />
 \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} &= -(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}), \ \textrm{stąd} \ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{u} = 0, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}.\\<br />
P &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) +<br />
 (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2+\\<br />
& \quad + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^2  - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})^2+\\<br />
& \quad + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})^2 - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
\begin{split}<br />
 ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))^2  &= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 =\\<br />
&= (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})^2 + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2+\\<br />
&\quad - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})  - 2 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})+\\<br />
&\quad - 2 (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}),<br />
\end{split}<br />
\]

więc strona lewa $ L $ równości (2) jest równa

\[<br />
\begin{split}<br />
L = & 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^2 + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^2 + 2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c})^2 - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) +\\<br />
& - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) - 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}).<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec tego widzimy, że $ L = P $, to znaczy równość (2) jest prawdziwa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź