LVIII OM - I - Zadanie 5

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $, w którym $ \angle ACB=45^\circ $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, punkt $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ O $ i prostopadła do prostej $ CO $ przecina proste $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ K $ i $ L $. Wykazać, że

\[<br />
OK+KH=OL+LH\,.<br />
\]

Rozwiązanie

om58_1r_img_2.jpg

Niech $ D $ będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $ B $ i niech $ G $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ H $ względem prostej $ AC $ (rys. 2); odcinki $ BG $ i $ AC $ przecinają się w punkcie $ D $.

Zauważmy, że punkt $ G $ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $. Rzeczywiście, ze względu na prostopadłości $ BH\perp AC $, $ CH\perp AB $ mamy

$$\measuredangle ACG=\measuredangle ACH=90^\circ-\measuredangle CAB=\measuredangle ABG\,,$$

a więc punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ G $ leżą na jednym okręgu.

W trójkącie $ BCD $ zachodzą równości $ \measuredangle BCD=45^\circ $ i $ \measuredangle BDC=90^\circ $, skąd wyznaczamy $ \measuredangle CBG=45^\circ $. Zatem $ \measuredangle GOC=2\measuredangle GBC=90^\circ $. Stąd $ GO\perp CO $, toteż punkty $ G $, $ K $, $ O $ leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności. To daje

\[<br />
OK+KH=OK+KG=OG,<br />
\]

czyli wielkość $ OK+KH $ jest równa promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Analogicznie dowodzimy, że temu promieniowi jest równa wielkość $ OL+LH $, co kończy rozwiązanie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź