XXVIII - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań

\[<br />
\begin{split}<br />
2(x + y - 2) &= y(x - y + 2), \\<br />
x^2(y - 1) + y^2(x - 1) &= xy - 1.<br />
\end{split}<br />
\]

Rozwiązanie

Przenosząc w danych równaniach wszystkie wyrazy na stronę lewą i rozkładając otrzymane wielomiany na czynniki uzyskujemy

\[<br />
(y-2)(x-y-2) = 0,<br />
\]
\[<br />
(x-1)(y-1)(x+y+1) = 0.<br />
\]

Z pierwszego z tych równań wynika, że $ y - 2 = 0 $ lub $ x - y - 2 = 0 $, czyli $ y = 2 $ lub $ y = x - 2 $. Podstawiając $ y = 2 $ do drugiego równania otrzymujemy $ (x - 1)(x + 3) = 0 $ i wobec tego $ x = 1 $ lub $ x = -3 $. Mamy więc w tym przypadku dwa rozwiązania danego układu równań $ (x, y) = (1, 2) $ i $ (-3, 2) $. Podstawiając zaś $ y = x - 2 $ do drugiego równania otrzymujemy $ (x - 1) (x - 3)(2x - 1) = 0 $ i wobec tego $ x = 1 $, $ x = 3 $ lub $ \displaystyle x = \frac{1}{2} $. Odpowiednie wartości $ y $ obliczamy ze wzoru $ y = x- 2 $ i otrzymujemy $ y = -1 $, $ y = 1 $, $ \displaystyle y = -\frac{3}{2} $. Mamy więc w tym przypadku trzy rozwiązania danego układu równań $ (x,y) = (1, -1) $, $ (3, 1) $ i $ \displaystyle \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right) $. Łącznie więc dany układ równań ma pięć rozwiązań.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź