XXVIII - I - Zadanie 2

Dane są trzy różne liczby całkowite $ a, b, c $. Udowodnić, że nie istnieje wielomian $ w(x) $ o współczynnikach całkowitych taki, że

\[<br />
w(a) = b, \quad w(b) = c, \quad w(c) = a.<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli $ w(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \ldots + p_nx^n $, gdzie $ p_0, p_1, \ldots, p_n $ są liczbami całkowitymi, to dla dowolnych liczb całkowitych $ r $ i $ s $ liczba $ w(r) - w(s) $ jest podzielna przez $ r - s $. Mamy bowiem

\[<br />
w(r) - w(s) =p_1(r- s) + p_2(r^2 - s^2) + \ldots + p_n(r^n - s^n),<br />
\]

a każda z liczb $ r - s, r^2 - s^2, \ldots, r^n - s^n $ jest podzielna przez $ r - s $. Wobec tego z warunków zadania wynika, że:

  • liczba $ b - c = w(a) - w(b) $ jest podzielna przez $ a - b $,
  • liczba $ c - a = w(b) - w(c) $ jest podzielna przez $ b - c $,
  • liczba $ a - b = w(c) - w(a) $ jest podzielna przez $ c - a $.

Liczby $ a - b $, $ b - c $, $ c - a $ są różne od zera, ponieważ liczby $ a $, $ b $, $ c $ są różne. Wobec tego z powyższych podzielności wynika, że $ |a - b| \leq |b - c| $, $ |b - c| \leq |c - a| $ i $ |c - a| \leq |a - b| $. Stąd mamy $ |a - b| = |b - c| = |c - a| $. Liczby $ a - b $ i $ b - c $ są więc równe lub przeciwne. Gdyby były one przeciwne, to $ a - b = - (b - c) $ i stąd $ a = c $, co przeczy założeniu. Zatem liczby $ a - b $ i $ b - c $ są równe. Podobnie dowodzimy, że liczby $ b - c $ i $ c - a $ są równe. Wobec tego $ 3 (b - c) = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0 $ i stąd $ b = c $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje wielomian w spełniający warunki zadania.

Uwaga. Nietrudno udowodnić, że istnieje wielomian w o współczynnikach wymiernych spełniający warunki podane w zadaniu. Wielomianem takim jest na przykład

\[<br />
w(x)=a \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} + b \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + c \frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}.<br />
\]

Ogólniej można udowodnić, że jeżeli $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ są różnymi liczbami rzeczywistymi, a $ b_1, b_2, \ldots, b_n $ - dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to istnieje wielomian $ w $ stopnia $ < n $ o współczynnikach rzeczywistych i taki, że $ w(a_i) = b_i $ dla $ i = 1, 2, \ldots, n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź