XXVIII - I - Zadanie 3

Niech $ a $ i $ b $ będą liczbami naturalnymi. Prostokąt o bokach długości $ a $ i $ b $ podzielono prostymi równoległymi do boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnętrza ilu kwadratów przechodzi przekątna prostokąta ?

Rozwiązanie

Niech dany prostokąt $ ABCD $ ma podstawę $ \overline{AB} $ długości $ a $ i wysokość $ \overline{BC} $ długości $ b $. Rozważmy jego przekątną $ \overline{AC} $ łączącą lewy dolny wierzchołek $ A $ z prawym górnym wierzchołkiem $ C $ (rys. 4).

Załóżmy najpierw, że liczby $ a $ i $ b $ są względnie pierwsze. Gdyby pewien wierzchołek $ E $ kwadratu jednostkowego zawarty wewnątrz prostokąta $ ABCD $ należał do $ \overline{AC} $, to mielibyśmy $ \displaystyle \frac{a}{b}= \frac{AB}{BC} = \frac{AF}{EF} $, czyli $ a \cdot EF = b \cdot AF $, gdzie $ F $ jest rzutem punktu $ E $ na prostą $ AB $. Ponieważ liczby $ a $ i $ b $ są względnie pierwsze, a liczby $ EF $ i $ AF $ - naturalne, więc z ostatniej równości wynika, że $ a $ jest dzielnikiem liczby $ AF $. Jest to niemożliwe, ponieważ $ AF < AB = a $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że przekątna $ AC $ nie przechodzi przez żaden wierzchołek kwadratu jednostkowego zawarty wewnątrz prostokąta $ ABCD $. Wyznacza więc ona ciąg kwadratów jednostkowych, których wnętrza kolejno przecina. Każdy następny kwadrat ciągu ma bok wspólny z kwadratem poprzednim i jest położony na prawo od niego lub nad nim. Idąc wzdłuż drogi wyznaczonej przez kwadraty tego ciągu wykonujemy $ a - 1 $ przesunięć w prawo i $ b - 1 $ przesunięć do góry. Razem mamy więc $ a + b - 2 $ przesunięcia, czyli droga składa się z $ a + b - 1 $ kwadratów, tzn. przekątna $ \overline{AC} $ przechodzi przez wnętrza $ a + b - 1 $ kwadratów jednostkowych.

Jeżeli zaś liczby $ a $ i $ b $ nie są względnie pierwsze i ich największy wspólny dzielnik jest równy $ d $, to niech $ a = da' $, $ b = db' $. Wtedy liczby $ a' $ i $ b' $ są względnie pierwsze. Przekątna prostokąta o bokach, długości $ a $ i $ b $ składa się z $ d $ równych odcinków, z których każdy jest przekątną pewnego prostokąta o bokach długości $ a' $ i $ b' $. Na podstawie już rozpatrzonego przypadku każdy taki odcinek przekątnej przechodzi przez wnętrza $ a' + b' - 1 $ kwadratów jednostkowych i wobec tego cała przekątna przechodzi przez wnętrza $ d(a' + b' - 1) = a + b - d $ kwadratów jednostkowych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź