XXVIII - I - Zadanie 4

Wewnątrz czworościanu $ ABCD $ obrano punkt $ M $, przy czym okazało się, że dla każdego z czworościanów $ ABCM $ $ ABDM $, $ ACDM $, $ BCDM $ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi. Udowodnić, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ ABCD $.

Rozwiązanie

Wykorzystamy następujące twierdzenie, które było dane jako zadanie 4 na zawodach VI Olimpiady Matematycznej.

Twierdzenie. Istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ PQRS $ wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe, tzn. gdy

\[<br />
PQ + RS = PR + QS = PS + QR.<br />
\]

Stosując to twierdzenie do czworościanów $ ABCM $, $ ACDM $ i $ BCDM $ otrzymujemy w szczególności

\[<br />
AB + CM = BC + AM = BM + AC,<br />
\]
\[<br />
CD + AM = CM + AD, \quad CD + BM = CM + BD.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
AB + CD - AC - BD = (AB + CM) + (CD + BM) - (AC + BM) - (BD + CM) = 0,<br />
\]

czyli

\[<br />
AB + CD = AC + + BD,<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
AB + CD - BC - AD = (AB + CM) + (CD + AM)- (BC + AM) - (AD + CM) = 0,<br />
\]

czyli

\[<br />
AB + CD = BC + AD.<br />
\]

Dowiedliśmy więc, że

\[<br />
AB + CD = AC + BD = BC + AD.<br />
\]

Zatem na podstawie przytoczonego wyżej twierdzenia istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ ABCD $.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ ABDM $. Rozumując podobnie można więc udowodnić, że jeżeli dla każdego z pewnych trzech spośród czterech czworościanów $ ABCM $, $ ABDM $, $ ACDM $, $ BCDM $ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi, to istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ ABCD $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź