XXVIII - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli $ P(x, y) $ jest takim wielomianem dwóch zmiennych, że $ P(x, y) = P(y, x) $ dla wszystkich $ x, y $ rzeczywistych oraz wielomian $ (x-y) $ dzieli $ P(x, y) $, to wielomian $ (x - y)^2 $ także dzieli $ P(x, y) $.

Rozwiązanie

Z założenia istnieje taki wielomian $ Q(x, y) $, że $ P(x,y) = (x - y) \cdot Q(x, y $). Wobec tego z równości $ P(x, y) = P(y, x) $ otrzymujemy, że $ (x - y) \cdot Q(x, y) = (y - x) \cdot Q(y, x) $, czyli $ (x - y) \cdot (Q(x, y) + Q(y, x)) = 0 $. Ponieważ iloczyn wielomianów jest wielomianem zerowym tylko, gdy jeden z czynników jest wielomianem zerowym, a wielomian $ x - y $ jest niezerowy, więc z ostatniej równości wynika, że $ Q(x, y) + Q(y, x) = 0 $. Dokonując tu podstawienia $ x = y $ otrzymujemy w szczególności, że $ Q(y, y) = 0 $, tzn. $ Q(y, y) $ jest wielomianem zerowym.

Traktując wielomiany $ Q(x, y) $ i $ x - y $ jako wielomiany zmiennej $ x $ o współczynnikach będących wielomianami zmiennej $ y $ dzielimy $ Q (x, y) $ przez $ x - y $. Otrzymujemy pewien iloraz $ U (x, y) $ i resztę $ R (y) $ niezależną od $ x $. Z algorytmu dzielenia wynika, że $ U (x, y) $ i $ R (y) $ są wielomianami zmiennych $ x $, $ y $ oraz $ y $ odpowiednio. Mamy więc $ Q(x, y) = (x - y) \cdot U(x, y) + R(y) $. Podstawiając tu $ x=y $ otrzymujemy $ Q(y, y) = R(y) $. Z drugiej strony, dowiedliśmy, że $ Q(y, y) = 0 $. Wobec tego $ R(y) = 0 $, czyli $ Q(x, y) = (x - y) \cdot U(x, y) $ i stąd $ P(x, y) = (x - y)^2 \cdot U(x, y) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź