XXVIII - I - Zadanie 6

Obliczyć

\[<br />
\lim_{n\to \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdot \ldots \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1}.<br />
\]

Rozwiązanie

Wyraz o numerze $ n $ ciągu, którego granicę mamy obliczyć, jest iloczynem ułamków postaci

\[<br />
\frac{k^3 - 1}{k^3 + 1}.\ \textrm{gdzie} \ k = 2, 3, \ldots, n.<br />
\]

Mamy rozkłady $ k^3 - 1 = (k - 1) (k^2 + k + 1) $ oraz $ k^3 + 1 = (k+ 1)(k^2 - k + 1) $. Ponieważ $ (k + 1)^2 - (k + 1) + 1 = k^2+2k+1 $, więc czynnik $ k^2 + k + 1 $ występujący w liczniku ułamka $ \displaystyle \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} $
skróci się z czynnikiem $ (k+1)^2-(k+1)+1 $ występującym w mianowniku następnego ułamka, tzn. ułamka $ \displaystyle \frac{(k + 1)^3-1}{(k+1)^3 + 1} $. Również czynnik $ k + 1 $ występujący w mianowniku ułamka $ \displaystyle \frac{k^3 - 1}{k^3 + 1} $ skróci się z czynnikiem $ (k + 2) - 1 = k + 1 $ występującym w liczniku ułamka o numerze o $ 2 $ większym, tzn. ułamka $ \displaystyle \frac{(k+2)^3 - 1}{(k+2)^3 + 1} $.

Wobec tego pozostaną nieskrócone w liczniku tylko czynniki $ k - 1 $ pochodzące z pierwszych dwóch ułamków i czynnik $ k^2 + k + 1 $ pochodzący z ostatniego ułamka; w mianowniku zaś pozostanie nieskrócony tylko czynnik $ k^2 - k + 1 $ pochodzący z pierwszego ułamka i czynniki $ k + 1 $ pochodzące z dwóch ostatnich ułamków. Mamy więc

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{2^3 - 1}{2^3 + 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3^3 + 1} \ldots \frac{n^3 - 1}{n^3 + 1} &= \frac{(2-1)(3-1)(n^2+n+1)}{(2^2-2+1)((n-1)+1))(n+1)} =\\<br />
&=\frac{2(n^2+n+1)}{3(n^2+n)} = \frac{2}{3} \left( 1 + \frac{1}{n^2+n} \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ ciąg $ \left( \frac{1}{n^2 + n} \right) $ jest zbieżny do zera, więc z powyższego wynika, że granica, którą należało obliczyć w zadaniu, jest równa $ \displaystyle \frac{2}{3} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź