XXVIII - I - Zadanie 7

Trzy koła o promieniach równych 1 przecinają się tak, że ich część wspólna jest ograniczona trzema łukami, z których każdy należy do innego koła. Końce tych łuków oznaczmy przez $ K, L, M $. Pierwszy okrąg przecina drugi w punktach $ C $ i $ M $, drugi przecina trzeci w punktach $ A $ i $ K $, a trzeci przecina pierwszy w punktach $ B $ i $ L $.
Udowodnić, że suma długości łuków $ AM, BK, CL $ równa się $ \pi $.

Rozwiązanie

Jeżeli dwa okręgi o równych promieniach przecinają się w punktach $ P $ i $ Q $, to długości łuków wyznaczonych przez te punkty na jednym okręgu są równe długościom odpowiednich łuków wyznaczonych przez te punkty na drugim okręgu. Dokonując bowiem symetrii względem prostej $ PQ $ łuki o końcach $ P $ i $ Q $ na jednym okręgu przekształcamy na odpowiednie łuki o końcach $ P $ i $ Q $ na drugim okręgu.

Wynikają stąd następujące równości długości łuków okręgów danych w zadaniu (rys. 5):

\[<br />
\widehat{AM} + \widehat{MK} = \widehat{AL} + \widehat{LK},<br />
\]
\[<br />
\widehat{BK} + \widehat{KL} = \widehat{BM} + \widehat{ML},<br />
\]
\[<br />
\widehat{CL} + \widehat{LM} = \widehat{CK} + \widehat{KM}.<br />
\]

Dodając te równości stronami stwierdzamy, że

\[<br />
(1) \qquad \widehat{AM} + \widehat{BK} + \widehat{CL} =<br />
 \widehat{AL} + \widehat{BM} + \widehat{CK}.<br />
\]

Miara kąta wpisanego w okrąg jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. W okręgu o promieniu długości $ 1 $ miara kąta środkowego wyrażona w radianach jest równa długości łuku, na którym ten kąt jest oparty. Wobec tego

\[<br />
\measuredangle MKL = \measuredangle| MKA + \measuredangle AKL = \frac{1}{2} \widehat{AM} + \frac{1}{2} \widehat{AL}<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
\measuredangle KLM = \frac{1}{2} \widehat{BK} + \frac{1}{2} \widehat{BM} \ \textrm{i} \<br />
\measuredangle LMK = \frac{1}{2} \widehat{CL} + \frac{1}{2} \widehat{CK}.<br />
\]

Ponieważ suma miar kątów trójkąta $ KLM $ jest równa $ \pi $, więc dodając te równości stronami otrzymujemy na mocy (1)

\[<br />
\begin{split}<br />
\pi &=<br />
\measuredangle MKL + \measuredangle KLM + \measuredangle LMK=\\<br />
 &=<br />
 \frac{1}{2} (\widehat{AM} + \widehat{BK} + \widehat{CL}) +<br />
 \frac{1}{2} (\widehat{AL} + \widehat{BM} + \widehat{CK}) = \\<br />
&= \widehat{AM} + \widehat{BK} + \widehat{CL}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź