XXVIII - I - Zadanie 9

Funkcja $ f $ określona na zbiorze wszystkich liczb całkowitych przyjmuje tylko wartości dodatnie i spełnia warunek:

\[<br />
f(n) \geq \frac{1}{2}(f(n-1)+f(n+1))\quad  \text{ dla } n = 0, 1, -1, 2, -2, \ldots<br />
\]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest stała.

Rozwiązanie

Niech $ g(n) =f(n + 1) - f(n) $ dla każdej liczby całkowitej $ n $. Wtedy z warunków zadania otrzymujemy, że $ f(n+1) - f(n) \leq f(n) - f(n - 1) $ czyli $ g(n) \leq<br />
g(n - 1) $. Wynika stąd, że funkcja $ g $ jest nierosnąca. Wobec tego dla każdej liczby naturalnej $ k $ mamy $ g(n + k) \leq g(n) \leq g(n- k) $, czyli

\[<br />
(1) \qquad f(n + k + 1) -f(n + k) \leq g(n) \leq f(n - k + 1) - f(n-k).<br />
\]

Dodając stronami nierówności (1) dla $ k = 1, 2, \ldots, m $, gdzie $ m $ jest dowolną liczbą naturalną, otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad f(n + m + 1) - f(n + 1) \leq mg(n) \leq f(n) - f(n - m).<br />
\]

Ponieważ funkcja $ f $ przybiera tylko wartości dodatnie, więc z (2) wynika, że $ -f (n+1) \leq mg(n) \leq f(n) $, czyli

\[<br />
(3) \qquad -\frac{1}{m} f(n+ 1) \leq g(n) \leq \frac{1}{m} f(n)\ \textrm{dla}\ m=1,2, \ldots.<br />
\]

Przechodząc w (3) do granicy, gdy $ m \to \infty $, otrzymujemy, że $ g(n) = 0 $, tzn. $ f(n + 1) = f(n) $. Wynika stąd, że funkcja $ f $ jest stała.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź