XXVIII - I - Zadanie 10

Udowodnić, że w każdym czworościanie istnieje wierzchołek, przy którym trzy kąty płaskie są ostre.

Rozwiązanie

Suma miar kątów płaskich dowolnej ściany czworościanu jest równa $ \pi $. Wobec tego suma miar wszystkich kątów płaskich czworościanu jest równa $ 4\pi $. Wynika stąd, że istnieje taki wierzchołek $ A $ czworościanu, że suma miar kątów płaskich przy tym wierzchołku nie przekracza $ \pi $.

Z drugiej strony wiadomo (patrz rozwiązanie zadania 17(5) z XXIV Olimpiady Matematycznej), że suma miar dwóch kątów płaskich przy wierzchołku czworościanu jest większa od miary trzeciego kąta płaskiego przy tym wierzchołku. Jeżeli więc jeden z kątów płaskich przy wierzchołku czworościanu jest nieostry, to suma miar wszystkich kątów płaskich przy tym wierzchołku jest większa od $ \pi $.

Z powyższego wynika, że wszystkie kąty płaskie przy wierzchołku $ A $ są ostre.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź