LVIII OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że jeżeli liczby $ a,b,c $ są dodatnie, to

\[<br />
{1\over a+ab+abc}+{1\over b+bc+bca}+{1\over c+ca+cab}\leq<br />
{1\over3\root{\scriptstyle3}\of{abc}}<br />
\Bigl({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\Bigr)\,.<br />
\]

Rozwiązanie

Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną otrzymujemy

\[<br />
a+ab+abc\ge 3\root{\scriptstyle3}\of{a\cdot ab\cdot abc}<br />
=3\root{\scriptstyle3}\of{abc}\root{\scriptstyle3}\of<br />
{a^2b}<br />
\]

i analogicznie $ b+bc+bca\ge3\root{\scriptstyle3}\of{abc} \root{\scriptstyle3}\of{b^2c} $ oraz $ c+ca+cab\ge 3\root{\scriptstyle3}\of{abc}\root{\scriptstyle3}\of {c^2a} $. Stąd wynika, że

\[{1\over a+ab+abc}+{1\over b+bc+bca}+{1\over c+ca+cab}\leq<br />
{1\over3\root{\scriptstyle3}\of{abc}}\Bigl(<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{a^2b}}+<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{b^2c}}+<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{c^2a}}\Bigr).<br />
\]

Zatem zadanie będzie rozwiązane, jeżeli wykażemy nierówność

\[<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{a^2b}}+<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{b^2c}}+<br />
{1\over\root{\scriptstyle3}\of{c^2a}}\le<br />
{1\over a}+{1\over b}+{1\over c}.<br />
\]

Wprowadzając oznaczenia $ x=1/\root{\scriptstyle3}\of{a} $, $ y=1/\root{\scriptstyle3}\of{b} $, $ z=1/\root{\scriptstyle3}\of{c} $ zapisujemy powyższą nierówność w postaci

\[<br />
x^2y+y^2z+z^2x\le x^3+y^3+z^3,<br />
\]

a ta nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności między średnimi, gdyż

\[<br />
\begin{split}<br />
x^2y+y^2z+z^2x &= \root{\scriptstyle3}\of{x^3\cdot x^3\cdot y^3} + \root{\scriptstyle3}\of{y^3\cdot y^3\cdot z^3} +<br />
\root{\scriptstyle3}\of{\vphantom{y^3}z^3\cdot z^3\cdot x^3}\le \\<br />
&\le {x^3+x^3+y^3\over 3} + {y^3+y^3+z^3\over 3} + {z^3+z^3+x^3\over 3}=x^3+y^3+z^3.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź