XXVIII - I - Zadanie 11

Spośród liczb $ 1, 2, \ldots, n $ wybieramy jedną, przy czym wybór każdej z nich jest jednakowo prawdopodobny. Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem takiego zdarzenia,, że w zapisie dziesiętnym wybranej liczby występują wszystkie cyfry: $ 0, 1, \ldots, 9 $. Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} p_n $.

Rozwiązanie

Niech liczba $ n $ ma $ k $ cyfr w zapisie dziesiętnym, tzn. niech $ 10^{k-1} \leq n < 10^k $, gdzie $ k $ jest pewną liczbą naturalną. Wtedy każda z liczb $ 1, 2, \ldots, n $ ma nie więcej niż $ k $ cyfr. Oszacujemy z góry liczbę $ A_0 $ takich liczb o co najwyżej $ k $ cyfrach, które w zapisie dziesiętnym nie mają cyfry $ 0 $.

Liczba liczb $ r $-cyfrowych, których zapis dziesiętny nie zawiera cyfry $ 0 $, równa jest $ 9^r $, ponieważ każda z $ r $ cyfr takiej liczby należy do zbioru dziewięcioelementowego $ \{1, 2, \ldots,  9\} $. Wobec tego

\[<br />
A_0 = 9 + 9^2+ \ldots + 9^k = 9 \frac{9^k-1}{9-1} < 9^{k+1}.<br />
\]

Analogicznie stwierdzamy, że dla $ i = 1, 2, \ldots, 9 $ liczba $ A_i $ liczb o co najwyżej $ k $ cyfrach, które w zapisie dziesiętnym nie mają cyfry $ i $, spełnia nierówność $ A_i < 9^{k+1} $.

Wynika stąd, że liczba $ A $ takich liczb naturalnych spośród $ 1, 2, \ldots,n $, które w zapisie dziesiętnym nie zawierają co najmniej jednej z cyfr $ 0, 1, 2, \ldots, 9 $, spełnia nierówność

\[<br />
A \leq A_0 + A_1 + \ldots + A_9 < 10 \cdot 9^{k+1}.<br />
\]

Wobec tego liczba $ B_n $ takich liczb spośród $ 1, 2, \ldots, n $ że w ich zapisie dziesiętnym występują wszystkie cyfry $ 0, 1, 2, \ldots, 9 $, spełnia

\[<br />
\begin{split}<br />
B_n &= n - A > n - 10 \cdot 9^{k+1} =<br />
n \left( 1 - \frac{10 \cdot 9^{k+1}}{n} \right) \geq<br />
n \left( 1 - \frac{10 \cdot 9^{k+1}}{10^{k-1}} \right) =\\<br />
&=n \left( 1 - 900 \cdot \left( \frac{9}{10} \right)^k \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem

\[<br />
(1) \qquad 1 \geq p_n = \frac{B_n}{n} > 1 - 900 \left( \frac{9}{10} \right)^k.<br />
\]

Jeżeli $ n $ dąży do nieskończoności, to również $ k $ dąży do nieskończoności. Ponieważ dla każdej liczby $ q $ z przedziału $ (-1; 1) $ mamy $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} q^k = 0 $, więc w szczególności $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} \left( \frac{9}{10} \right)^k = 0 $. Wobec tego z (1) na podstawie twierdzenia o trzech ciągach wynika, że $ \lim_{n \to \infty} p_n = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź