XXVIII - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, w którym z wielomianów $ (1 - 9x + 7x^2 - 6x^3)^{1976} $, $ (1 + 9x - 7x^2 + 6x^3)^{1976} $ współczynnik przy $ x^{1976} $ jest większy.

Rozwiązanie

Jednomian stopnia 1976 w pierwszym wielomianie jest sumą pewnej liczby iloczynów postaci

\[<br />
(1) \qquad (-9x)^a (7x^2)^b (-6x^3)^c = (-1)^{a+c} 9^a 7^b 6^c x^{a+2b+3c},<br />
\]

gdzie $ a, b, c \geq 0 $ i $ a + 2b + 3c = 1976 $. Z ostatniej równości wynika, że $ a + c = 1976 - 2b - 2c $ jest liczbą parzystą. Wobec tego każdy z jednomianów (1) ma współczynnik dodatni.

Jednomian stopnia 1976 w drugim wielomianie jest sumą pewnej liczby iloczynów postaci

\[<br />
(2) \qquad (9x)^a (-7x^2)^b (6x^3)^c = (-1)^b 9^a 7^b 6^c x^{a+2b+3c},<br />
\]

gdzie $ a,b,c \geq 0 $ i $ a + 2b + 3c= 1976 $. Przy tym każdemu składnikowi postaci (1) w pierwszym wielomianie odpowiada składnik postaci (2) w drugim wielomianie i na odwrót. Widzimy, że odpowiadające sobie składniki (1) i (2) różnią się co najwyżej znakiem. Wszystkie jednomiany (1) mają współczynniki dodatnie, a pewne jednomiany (2) mają współczynniki ujemne (na przykład przy $ a = 1974 $, $ b = 1 $, $ c = 0 $ współczynnik jednomianu (2) jest ujemny).

Wobec tego w pierwszym z rozważanych wielomianów współczynnik przy $ x^{1976} $ jest większy niż w drugim.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź