XXVIII - II - Zadanie 1

Niech $ a $ i $ b $ będą różnymi liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ c_1, c_2, \ldots,c_n $ istnieje ciąg $ n $-ele-mentowy $ (x_i) $, którego każdy wyraz równy jest jednej z liczb $ a $ lub $ b $ taki, że

\[<br />
|x_1c_1 + x_2c_2 + \ldots + x_nc_n| \geq \frac{|b-a|}{2}(|c_1|+|c_2|+\ldots+|c_n|).<br />
\]

Rozwiązanie

Niech

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
D = a \sum_{c_i < 0} c_i + b \sum_{c_i \geq 0} c_i,\\<br />
E = a \sum_{c_i \geq 0} c_i + b \sum_{c_i < 0} c_i.<br />
\end{array}<br />
\]

Mamy

\[<br />
D - E = (b-a) \left( \sum_{c_i \geq 0} c_i - \sum_{c_i < 0} c_i \right) =<br />
(b-a) \sum_{i=1}^n |c_i|.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
(2) \qquad |b - a| \sum_{i=1}^n |c_i| = |D - E| \leq |D| + |E| \leq 2 \max(|D|, |E|).<br />
\]

Niech na przykład $ |D| \leq |E| $. Jeżeli zachodzi nierówność przeciwna, to rozumowanie przebiega podobnie. Mamy więc $ \max(|D|, |E|) = |E| $ i wobec tego z (2) wynika, że $ |E| \geq \displaystyle \frac{|b-a|}{2} \sum_{i=1}^n |c_i| $. Zatem na mocy (1) wystarczy przyjąć

\[<br />
x_i = \left\{<br />
\begin{array}{cl}<br />
a, \textrm{jeżeli} \ c_i \geq 0, \\<br />
b, \textrm{jeżeli} \ c_i < 0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]