XXVIII - II - Zadanie 3

W kapeluszu znajduje się 7 kartek. Na $ n $-tej kartce napisana jest liczba $ 2^n-1 $ ($ n = 1, 2, \ldots, 7 $). Wyciągamy losowo kartki aż do momentu, kiedy suma przekroczy 124. Jaka wartość tej sumy jest najbardziej prawdopodobna?

Rozwiązanie

Suma liczb $ 2^0, 2^1, \ldots, 2^6 $ jest równa $ 127 $. Suma dowolnych pięciu spośród tych liczb nie przekracza $ 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 = 124 $. Wobec tego z kapelusza musimy wyciągnąć co najmniej sześć kartek.

Każde ze zdarzeń polegających na tym, że wyciągnęliśmy z kapelusza sześć kartek, a w kapeluszu pozostała siódma z numerem $ 2^{n-1} $ ($ n = 1, 2, \ldots, 7 $) jest jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest więc równe $ \displaystyle \frac{1}{7} $.

Suma liczb na wyciągniętych kartkach jest równa $ 127 - 2^{n-1} $. Jeżeli $ n = 1 $, to ta suma jest równa $ 126 $; jeżeli $ n = 2 $, to jest ona równa $ 125 $; jeżeli zaś $ n= 3, 4, 5, 6 $ lub $ 7 $, to suma ta jest mniejsza od $ 124 $ i musimy wyciągnąć siódmą kartkę. W tym ostatnim przypadku suma liczb na wszystkich wyciągniętych kartkach będzie równa $ 127 $. Zatem prawdopodobieństwo, tego że suma liczb na wszystkich kartkach wyciągniętych zgodnie z warunkami zadania wynosi odpowiednio $ 125 $, $ 126 $, $ 127 $, jest równe $ \displaystyle \frac{1}{7} $, $ \displaystyle \frac{1}{7} $, $ \displaystyle \frac{5}{7} $.

Wobec tego najbardziej prawdopodobną wartością sumy jest $ 127 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź