XXVIII - II - Zadanie 5

Niech wielomiany $ w_n $ będą określone wzorami:

\[<br />
w_1(x) = x^2 - 1, \quad   w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1, \quad     (n = 1, 2, \ldots)<br />
\]

i niech $ a $ będzie liczbą rzeczywistą. Ile różnych rozwiązań rzeczywistych ma równanie $ w_n(x) = a $?

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $ r_n(a) $ będzie liczbą różnych rozwiązań rzeczywistych równania $ w_n (x) = a $. Udowodnimy przez indukcję ze względu na $ n $, że

\[<br />
(1) \qquad r_n(a) =<br />
\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
0,       & \textrm{jeżeli} a < - 1,\\<br />
n,       & \textrm{jeżeli} a = - 1,\\<br />
2n,     & \textrm{jeżeli} -1 < a < 0,\\<br />
n+1,   & \textrm{jeżeli} a = 0,\\<br />
2,       & \textrm{jeżeli} a > 0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Sprawdzamy prawdziwość wzoru (1) dla $ n = 1 $. Równanie $ w_1(x)= a $ ma postać $ x^2 = 1 + a. $ Ma ono $ 0 $, $ 1 $ lub $ 2 $ rozwiązania, gdy odpowiednio $ a < - 1 $, $ a = -1 $ lub $ a > - 1 $. Natomiast prawa strona wzoru (1) przy $ n = 1 $ jest równa $ 0 $, gdy $ a < - 1 $; równa $ 1 $, gdy $ a = - 1 $, oraz równa $ 2 $, gdy $ a > - 1 $. Zatem wzór (1) jest prawdziwy dla $ n - 1 $.

Załóżmy z kolei, że wzór (1) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $ n $. Udowodnimy, że zachodzi on dla liczby $ n + 1 $.

Mamy $ w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1 $. Wobec tego równanie $ w_{n+1}(x) = a $ jest równoważne równaniu

\[<br />
(2) \qquad w_n(x)^2=1 + a.<br />
\]

Jeżeli $ a < - 1 $, to oczywiście równanie (2) nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Zatem $ r_{n+1} (a) = 0 $ dla $ a < - 1 $.

Jeżeli $ a = - 1 $, to równanie (2) jest równoważne równaniu $ w_n(x) = 0 $. Na mocy założenia indukcyjnego to ostatnie równanie ma $ r_n(0) = = n + 1 $ różnych rozwiązań w liczbach rzeczywistych. Zatem $ r_{n+1}(a) = n + 1 $ dla $ a = - 1 $.

Jeżeli $ a >- 1 $, to równanie (2) jest równoważne równaniu

\[<br />
(w_n(x) - \sqrt{1 + a}) (w_n(x) + \sqrt{1 + a}) = 0.<br />
\]

Równania

\[<br />
(3) \qquad w_n(x) = \sqrt{1 + a} \     \textrm{i} \     w_n(x) = - \sqrt{1 + a}<br />
\]

nie mają wspólnych rozwiązań, ponieważ odejmując te równania stronami otrzymujemy równanie sprzeczne $ 0 = 2 \sqrt{1 + a} $. Zatem liczba rozwiązań równania $ w_{n+1}(x) = a $ jest równa sumie liczb rozwiązań każdego z równań (3), tzn.

\[<br />
(4) \qquad r_{n+1} (a) = r_n(\sqrt{1 + a}) + r_n (- \sqrt{1 + a}).<br />
\]

Jeżeli $ -1 < a < 0 $, to $ 0 < \sqrt{1 + a} < 1 $ i $ -1 < -\sqrt{1 + a} < 0 $. Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $ r_n(\sqrt{1 + a}) = 2 $ i $ r_n (- \sqrt{1 + a}) = 2n $. Zatem z (4) wynika, że $ r_{n+1} (a) = 2 + 2n = 2(n + 1) $, gdy $ -1 < a < 0 $.

Jeżeli $ a = 0 $, to $ \sqrt{1 + a} = 1 $ i $ -\sqrt{1+a} = -1 $. Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $ r_n(\sqrt{1 + a}) = r_n(1) = 2 $ i $ r_n(-\sqrt{1 + a}) = r_n(-1) = n $. Zatem z (4) wynika, że $ r_{n+1}(a) = 2 + n = (n + 1) + 1 $ dla $ a = 0 $.

Wreszcie, jeżeli $ a > 0 $, to $ \sqrt{1 + a} > 1 $ i $ - \sqrt{1 + a} < - 1 $. Wobec tego z założenia indukcyjnego otrzymujemy $ r_n(\sqrt{1 + a}) = 2 $ i $ r_n(- \sqrt{1 + a}) = 0 $. Zatem z (4) wynika, że $ r_{n+1} (a) = 2 $ dla $ a > 0 $.

Wykazaliśmy więc, że wzór (1) jest prawdziwy dla liczby $ n + 1 $. Na mocy zasady indukcji wzór (1) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź