XXVIII - III - Zadanie 1

Dany jest czworościan $ ABCD $, o którego kątach płaskich wiadomo, że

\[<br />
\measuredangle BAD = 60^{\circ}, \quad  \measuredangle BAC = 40^{\circ}, \quad \measuredangle ABD = 80 ^{\circ}, \quad \measuredangle ABC = 70^{\circ}<br />
\]

Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Ponieważ suma miar kątów trójkąta $ ABC $ jest równa $ 180^\circ $, więc $ \measuredangle ACB = 180^\circ - \measuredangle ABC - \measuredangle BAC = 180^\circ - 70^\circ - 40^\circ = 70^\circ $. Wynika stąd, że trójkąt $ ABC $ jest równoramienny: $ AB = AC $.

Jak wiadomo, iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy iloczynowi ich długości i cosinusa kąta między nimi. W szczególności wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru. Mamy więc

\[<br />
(1) \qquad<br />
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =<br />
AB \cdot AC \cdot \cos 40^\circ = AB^2  \cdot  \cos 40^\circ<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} =<br />
 AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2} AB \cdot AD.<br />
\]

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkąta $ ABD $ otrzymujemy $ \displaystyle \frac{AD}{\sin 80^\circ} = \frac{AB}{\sin 40^\circ} $, czyli $ AD = AB \displaystyle \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} = 2AB \cdot \cos 40^\circ $,
ponieważ $ \sin 80^\circ = 2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ $. Z (2) wynika więc, że

\[<br />
(3) \qquad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AB^2 \cos 40^\circ.<br />
\]

Wobec tego z (1) i (3) otrzymujemy

\[<br />
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} =<br />
 \overrightarrow{AB} (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) =<br />
 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} -<br />
 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0.<br />
\]

Oznacza to, że wektory $ \overrightarrow{AB} $ i $ \overrightarrow{CD} $ są prostopadłe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź