XXVIII - III - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ s \geq 3 $ dany jest ciąg kół $ (K_n) $ oraz ciąg $ s $-kątów wypukłych $ (W_n) $ że

\[<br />
K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \quad \text{ dla } n = 1,2, \ldots.<br />
\]

Dowieść, że ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do zera.

Rozwiązanie

Niech punkty $ P_1, P_2, \ldots, P_{s+ 1} $ dzielą brzeg koła $ K_n $ na $ s + 1 $ równych łuków (rys. 13, przyjęliśmy tu $ s = 5 $). Rozważmy odcinki koła $ K_n $ wyznaczone przez cięciwy $ \overline{P_1P_2}, \overline{P_2P_3}, \ldots, \overline{P_sP_{s+1}}, \overline{P_{s+1}P_1} $ i nie zawierające środka koła $ K_n $. Ponieważ tych odcinków jest $ s + 1 $, więc co najmniej jeden z nich nie zawiera wierzchołka $ s $-kąta $ W_n $, a więc jest rozłączny z $ W_n $ (odcinek taki jest zakreskowany na rys. 13). Tym bardziej odcinek ten jest rozłączny z kołem $ K_{n+1} $ zawartym w $ W_n $.

Niech $ F_n $ będzie figurą powstającą z koła $ K_n $ przez odjecie odcinka kołowego odpowiadającego kątowi środkowemu $ \displaystyle \frac{2\pi}{s+1} $. Niech $ q $
będzie stosunkiem pola figury $ F_n $ do pola koła $ K_n $. Oczywiście $ q $ jest liczbą z przedziału $ (0, 1) $ zależną tylko od $ s $, a niezależną od $ n $.

Mamy więc $ (\textrm{pole}\ K_{n+1}) < q \cdot (\textrm{pole}\ K_n) $ i stąd przez indukcję $ (\textrm{pole}\ K_{n+1}) < q^n \cdot (\textrm{pole}\ K_1) $ dla $ n = 1, 2, \ldots $.

Ponieważ ciąg $ (q^n) $ jest zbieżny do zera, więc i ciąg pól kół $ K_n $ jest zbieżny do zera. Stąd z kolei wynika, że również ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do zera.

Uwaga. Można rozpatrywać zadanie ogólniejsze: Dany jest ciąg $ (s_n) $ liczb naturalnych, gdzie $ s_n \geq 3 $, ciąg kół $ (K_n) $ oraz ciąg wielokątów wypukłych $ (W_n) $, gdzie $ W_n $ ma $ s_n $ boków, takie, że

\[<br />
K_n \supset W_n \supset K_{n+1} \ \textrm{dla}\ n = 1, 2, \ldots.<br />
\]

Czy ciąg średnic kół $ K_n $ dąży do sera?

Rozumując analogicznie, jak w rozwiązaniu zadania, można udowodnić nierówność $ r_{n+1} \leq r_n \cos^2 \displaystyle \frac{\pi}{2s_n} $ i stąd przez indukcję, że

\[<br />
r_k \leq r_1 \cos^2 \frac{\pi}{2s_1} \cdot \cos^2 \frac{\pi}{2s_2} \cdot \ldots \cos^2 \frac{\pi}{2s_{k-1}},<br />
\]

tzn.

\[<br />
(5) \qquad r_k \leq r_1 \left( \prod_{j=1}^{k-1} \cos \frac{\pi}{2s_j} \right)^2 \ \textrm{dla}\ k = 1, 2, \ldots.<br />
\]

Metodami analizy matematycznej można udowodnić

Twierdzenie. Jeżeli $ (a_n) $ jest ciągiem litzb należących do przedziału $ \left( 0, \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) $, to ciąg $ \displaystyle a_n = \prod_{j=1}^n \cos \alpha_j $ jest zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy szereg $ \displaystyle \sum_{j=1}^\infty \alpha_j^2 $ jest rozbieżny.

Jeżeli więc szereg

\[<br />
(6) \qquad \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{s_j^2}<br />
\]

jest rozbieżny, to z tego twierdzenia wynika, że ciąg $ \displaystyle b_k = \prod_{j=1}^{k-1} \cos \frac{\pi}{2s_j} $ jest zbieżny do zera. Zatem z (5) otrzymujemy, że ciąg $ (r_k) $ też jest zbieżny do zera.

Jeżeli zaś szereg (6) jest zbieżny, to sytuacja jest inna. Istnieje wtedy ciąg wielokątów $ (W_n) $ i ciąg kół $ (K_n) $ spełniające powyższe warunki i takie, że ciąg średnic kół $ K_n $ nie dąży do zera.

Mianowicie, niech $ (s_n) $ będzie takim ciągiem liczb naturalnych, że $ s_n \geq 3 $ i szereg (6) jest zbieżny. Niech $ W_n $ będzie $ s $-kątem foremnym wpisanym w koło $ K_n $, a $ K_{n+1} $ - kołem wpisanym w wielokąt $ W_n $.

Jeżeli $ O $ jest środkiem koła $ K_n $, $ A $ i $ B $ - kolejnymi wierzchołkami wielokąta $ W_n $, a $ G $ - środkiem odcinka $ AB $ (rys. 16), to mamy zależności $ \measuredangle AOB = \displaystyle \frac{2\pi}{s_n}= 2 \measuredangle AOC $. Wobec tego

\[<br />
r_{n+1} = OC = OA \cos \measuredangle AOC = r_n \cos \frac{\pi}{s_n}.<br />
\]

Stąd przez indukcję łatwo otrzymujemy, że

\[<br />
(7) \qquad<br />
r_k = r_1<br />
\cdot \cos \frac{\pi}{s_1}<br />
\cdot \cos \frac{\pi}{s_2}<br />
\ldots<br />
\cdot \cos \frac{\pi}{s_{k-1}} \ \textrm{dla}\ k = 1, 2, \ldots .<br />
\]

Ponieważ szereg (6) jest zbieżny, więc z podanego wyżej twierdzenia wynika, że ciąg $ \displaystyle c_k = \prod_{j=1}^{k-1} \cos \frac{\pi}{s_j} $ nie jest zbieżny do zera. Zatem na mocy (7) i ciąg $ (r_k) $ nie dąży do zera.

Zauważmy jednak, że ciąg $ (r_k) $ jest zbieżny, ponieważ $ 0 < r_{k+1} < r_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots $ tzn. ciąg ten jest malejący i ograniczony z dołu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź