LVIII OM - I - Zadanie 7

Dany jest czworościan $ ABCD $. Dwusieczna kąta $ ABC $ przecina krawędź $ AC $ w punkcie $ Q $. Punkt $ P $ jest symetryczny do $ D $ względem punktu $ Q $. Punkt $ R $ leży na krawędzi $ AB $, przy czym $ {BR={1\over2}BC} $. Udowodnić, że z odcinków o długościach $ BP $, $ CD $ oraz $ 2\cdot QR $ można zbudować trójkąt.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie środkiem krawędzi $ BC $, zaś $ T $ - punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem punktu $ Q $ (rys. 3).

om58_1r_img_3.jpg

Ponieważ $ BS={1\over 2}BC=BR $, więc punkty $ R $ i $ S $ leżą symetrycznie względem dwusiecznej $ BQ $ kąta $ ABC $, a zatem $ QR=QS $. Ponadto trójkąt $ CTB $ jest obrazem trójkąta $ CQS $ w jednokładności o środku w punkcie $ C $ i skali $ 2 $, co daje $ BT=2\cdot QS=2\cdot QR $. Wreszcie końce odcinków $ TP $ i $ CD $ są odpowiednio symetryczne do siebie względem punktu $ Q $, skąd $ PT=CD $.

Z wyprowadzonych zależności otrzymujemy, że trójkąt $ BTP $ jest zbudowany z odcinków o długościach $ BP $, $ BT=2\cdot QR $ oraz $ PT=CD $, skąd wynika teza (punkty $ B $, $ T $, $ P $ nie leżą na jednej prostej, gdyż punkt $ P $ znajduje się poza płaszczyzną $ BCT $).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź