XXVIII - III - Zadanie 4

Funkcja $ h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ jest różniczkowalna i spełnia dla każdego $ x $ warunek $ h(ax) = b h(x) $, gdzie $ a $ i $ b $ są pewnymi ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $ 0 \neq |a| \neq 1 $. Ponadto $ h'(0) \neq 0 $ i funkcja $ h' $ jest ciągła w punkcie $ x = 0 $.
Udowodnić, że $ a = b $ oraz istnieje taka liczba rzeczywista $ c $, że $ h(x) = cx $.

Rozwiązanie

Ze wzoru

\[<br />
(1) \qquad h(ax) = b \cdot h(x)<br />
\]

wynika, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x \ne 0 $ zachodzi równość

\[<br />
\frac{h(ax)-h(a \cdot 0)}{ax} = \frac{b \cdot h(x) - b \cdot h(0)}{ax},<br />
\]

czyli

\[<br />
\frac{h(ax)-h(0)}{ax} = \frac{b}{a} \frac{h(x) - h(0)}{x}.<br />
\]

Przechodząc w (2) do granicy, gdy $ x \to 0 $, otrzymujemy $ h' (0) =<br />
\displaystyle \frac{b}{a} \cdot h'(0) $ i stąd, wobec $ h'(0) \ne 0 $, że $ a = b $. Zatem równość (1) przybiera postać

\[<br />
(3) \qquad h(ax) = a \cdot h(x).<br />
\]

Wobec tego $ h(x) = h(a \cdot a^{-1} x) = a \cdot h(a^{-1} x) $, czyli $ h (a^{-1}x) = a^{-1} \cdot h(x) $. Inaczej mówiąc, we wzorze (3) można $ a $ zastąpić przez $ a^{-1} $.

Ponieważ $ |a| < 1 $ lub $ |a^{-1}| < 1 $, więc bez zmniejszenia ogólności można przyjąć, że $ |a| < 1 $.

Podstawiając $ x = 0 $ we wzorze (3) otrzymujemy $ h(0) = a \cdot h(0) $ i stąd $ h(0) = 0 $, ponieważ $ a \ne 1 $.

Z (3) przez indukcję wynika, że

\[<br />
(4) \qquad h(a^nx) = a^n \cdot h(x)<br />
\]

dla każdej liczby raturalnej $ n $. Ciąg $ (a^nx) $ dąży do zera, gdy $ n \to \infty $, ponieważ $ |a| < 1 $. Wobec tego na mocy (4) dla $ x \ne 0 $ mamy

\[<br />
h'(0) =<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{h(a^nx)-h(0)}{a^nx} =<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{h(a^nx)}{a^nx} = \frac{h(x)}{x},<br />
\]

czyli $ h(x) = h'(0) \cdot x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x \ne 0 $. Dla $ x = 0 $ wzór ten też zachodzi, ponieważ $ h(0) = 0 $.

Wystarczy więc przyjąć $ c = h'(0) $.

Uwaga. W podanym wyżej rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że funkcja $ h' $ jest ciągła w punkcie $ x = 0 $, ani że funkcja $ h $ jest różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Korzystaliśmy jedynie z tego, że istnieje pochodna funkcji $ h $ w punkcie $ x = 0 $ oraz $ h'(0) \ne 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź