XXVIII - III - Zadanie 5

Udowodnić, że dla dowolnego wielokąta wypukłego istnieje koło, na którego brzegu leżą trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta i które zawiera ten wielokąt.

Rozwiązanie

Jeżeli odcinek $ \overline{AB} $ jest zawarty w brzegu półpłaszczyzny $ \pi $, to zbiór punktów należących do półpłaszczyzny $ \pi $, z których widać odcinek $ overline{AB} $ pod kątem $ \alpha $, jest łukiem pewnego okręgu $ K $.

Z punktów półpłaszczyzny $ \pi $ leżących wewnątrz okręgu $ K $ widać odcinek $ overline{AB} $ pod kątem większym od $ \alpha $, a z punktów półpłaszczyzny $ \pi $ położonych na zewnątrz okręgu $ K $ widać odcinek $ \overline{AB} $ pod kątem mniejszym od $ \alpha $.

Niech $ A_1, A_2, \ldots, A_n $ będą kolejnymi wierzchołkami danego wielokąta. Niech $ A_k $ będzie tym z punktów $ A_2, A_3, \ldots, A_{n-1} $, z którego widać odcinek $ overline{A_1A_n} $ pod najmniejszym kątem, tzn.

\[<br />
\measuredangle A_1A_kA_n \leq<br />
\measuredangle A_1A_jA_n \ \textrm{dla} \ j = 2, 3, \ldots, n-1.<br />
\]

Wtedy każdy z punktów $ A_2, A_3, \ldots, A_{n-1} $ należy do koła $ K $ opisanego na trójkącie $ A_1A_kA_n $ (rys. 21).

Jeżeli $ k = 2 $, to okrąg $ K $ spełnia warunki zadania. Jeżeli $ k > 2 $, to niech $ A_m $ będzie takim z punktów $ A_2, A_3, \ldots, A_{k-1} $, z którego widać odcinek $ overline{A_1A_k} $ pod najmniejszym kątem, tzn.

\[<br />
\measuredangle A_1A_mA_k \leq<br />
\measuredangle A_1A_jA_k \ \textrm{dla} \ j = 2, 3, \ldots, k-1.<br />
\]

Wtedy każdy z punktów $ A_2, A_3, \ldots, A_{k-1} $ należy do koła $ K' $ opisanego na trójkącie $ A_1A_mA_k $. Punkty $ A_{k+1}, A_{k+2}, \ldots, A_{n-1} $ też należą do koła $ K' $, ponieważ $ K' $ zawiera odcinek koła $ K $ zawierający punkt $ A_n $ i ograniczony cięciwą $ overline{A_1A_k} $.

Jeżeli $ A_1, A_m, A_k $ są kolejnymi wierzchołkami danego wielokąta, to okrąg $ K' $ spełnia warunki zadania. Jeżeli $ A_1, A_m, A_k $ nie są trzema kolejnymi wierzchołkami tego wielokąta, na przykład $ m < k - 1 $, to wybieramy punkt $ A_p $ spośród $ A_{m+1}, A_{m+2}, \ldots, A_{k-1} $ taki, że

\[<br />
\measuredangle A_mA_pA_k \leq \measuredangle A_mA_jA_k \<br />
\textrm{dla} \ j = m+1, m+2, \ldots, k-1<br />
\]

i rozważamy koło $ K^n $ opisane na trójkącie $ A_mA_pA_k $. Koło to zawiera oczywiście wszystkie wierzchołki danego wielokąta.

Postępując dalej analogicznie po skończonej liczbie kroków dojdziemy do koła spełniającego warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź