XXVIII - III - Zadanie 6

Dany jest wielomian

\[<br />
W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x),<br />
\]

gdzie $ a \neq O $, $ Q $ jest wielomianem niezerowym, $ k $ jest liczbą naturalną. Dowieść, że $ W $ ma co najmniej $ k + 1 $ współczynników różnych od zera.

Rozwiązanie

\spos{1} Zastosujemy indukcję względem $ k $ dla $ k \geq 0 $. Jeżeli $ k = 0 $, to z (1) otrzymujemy $ W(x) = Q(x) $. Przy tym wielomian $ W(x) $ ma co najmniej jeden współczynnik różny od zera, ponieważ wielomian $ Q(x) $ jest niezerowy. Twierdzenie podane w zadaniu jest więc prawdziwe dla liczby $ k = 0 $.

Z kolei niech $ k $ będzie liczbą naturalną i załóżmy, że twierdzenie to zachodzi dla liczby $ k-1 $. Niech wielomian $ W(x) $ spełnia (1). Przedstawmy wielomian $ Q(x) $ w postaci $ x^r \cdot Q_1(x) $, gdzie $ r \geq 0 $ i wielomian $ Q_1(x) $ nie jest podzielony przez $ x $, tzn. ma wyraz wolny różny od zera. Wtedy z (1) wynika, że $ W(x) = x^r \cdot W_1(x) $, gdzie

\[<br />
(2) \qquad W_1(x)= (x - a)^k  \cdot Q_1(x).<br />
\]

Ponieważ $ W(x) = x^r \cdot W_1(x) $, więc liczby współczynników różnych od zera w wielomianach $ W(x) $ i $ W_1(x) $ są równe.

Różniczkując obustronnie równość (2) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
W'_1(x) & = k \cdot (x - a)^{k-1} \cdot Q_1(x) + (x - a)^k \cdot Q'_1(x) =\\<br />
& = (x - a)^{k-1} [k \cdot Q_1(x) + (x - a) \cdot Q'_1(x)].<br />
\end{split}<br />
\]

Przy tym wielomian $ k \cdot Q_1(x) +(x-a) \cdot Q_1'(x) $ jest niezerowy, ponieważ wielomian $ W'_1(x) $ jest niezerowy na mocy (2). Z założenia indukcyjnego wynika więc, że wielomian $ W_1'(x) $ ma co najmniej $ k $ współczynników różnych od zera.

Przy różniczkowaniu dowolnego wielomianu jego wyraz wolny przechodzi na zero, a jednomiany różnych stopni dodatnich - na jednomiany różnych stopni. Wobec tego, jeżeli wielomian ma wyraz wolny różny od zera, to liczba jego współczynników różnych od zera jest o $ 1 $ większa od liczby współczynników różnych od zera pochodnej tego wielomianu.

Z (2) wynika, że wielomian $ W_1(x) $ ma wyraz wolny różny od zera. Wobec tego ma on o jeden współczynnik różny od zera więcej niż wielomian $ W_1'(x) $. Zatem wielomian $ W_1(x) $, a więc i $ W(x) $, ma co najmniej $ k + 1 $ współczynników różnych od zera. Udowodniliśmy więc twierdzenie podane w zadaniu dla liczby $ k $.

Na mocy zasady indukcji twierdzenie to zachodzi dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ k $.