XXVII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

\[<br />
\sum_{i=0}^{24} \binom{100}{4i+1} = 2^{98}.<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi wzór

\[<br />
(1) \qquad \sum_{i=0}^{n-1} \binom{4n}{4i+1} = 2^{4n-2}<br />
\]

Przy $ n = 25 $ wynika zeń wzór podany w zadaniu. Na mocy wzoru dwumianowego mamy

\[<br />
2^{4n-1} = (1+i)^{4n-1} = \sum_{j=0}^{4n-1} \binom{4n-1}{j}.<br />
\]

Grupując kolejno składniki otrzymanej sumy parami i wykorzystując wzór

\[<br />
\binom{m+1}{k} = \binom{m}{k} + \binom{m}{k-1}, \ \textrm{gdzie} \ 1 \leq k \leq m,<br />
\]

stwierdzamy, że

\[<br />
2^{4n-1} = \sum_{i=0}^{2n-1} \left[ \binom{4n-1}{2i} + \binom{4n-1}{2i+1} \right] = \sum_{i=0}^{2n-1} \binom{4n}{2i+1}.<br />
\]

Tę ostatnią sumę zapisujemy w postaci sumy dwóch sum. Składniki pierwszej odpowiadają parzystym wartościom $ i $, $ i = 2k $, gdzie $ 0 \leq k \leq<br />
n - 1 $; składniki drugiej - nieparzystym wartościom $ i $, $ i = 2k + 1 $, gdzie $ 0 \leq k \leq n - 1 $. Mamy więc

\[<br />
(2) \qquad 2^{4n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4n+1} + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4n+3}.<br />
\]

Ponieważ $ \displaystyle \binom{m}{r} = \binom{m}{m-r} $ dla $ 0 \leq r \leq m $, więc $ \displaystyle \binom{4n}{4n+3} = \binom{4n}{4(n-k-1)+1} $. Przy tym dla $ 0 \leq k \leq n-1 $ mamy $ 0 \leq n-1-k \leq n-1 $. Wobec tego ostatnia suma po prawej stronie wzoru (2) jest równa

\[<br />
\sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4(n-1-k)+1} = \sum_{s=0}^{n-1} \binom{4n}{4s+1}.<br />
\]

Zatem z (2) otrzymujemy

\[<br />
2^{4n-1} = 2\sum_{k=0}^{n-1} \binom{4n}{4k+1}<br />
\]

i stąd - wzór (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź