XXVII OM - I - Zadanie 5

Rozpatrujemy następującą grę dwóch osób Gracz pierwszy losuje żeton z napisaną na nim liczbą naturalną (nazwijmy ją $ n $) i odejmuje od niej wybrany przez siebie dzielnik właściwy $ d $ tej liczby (tzn. dzielnik spełniający nierówność $ 1\leq d<n $). Drugi gracz postępuje podobnie z różnicą $ n - d $, tzn. odejmuje od tej różnicy jej dzielnik właściwy, a następnie otrzymany wynik przekazuje graczowi, pierwszemu. Postępowanie to jest kontynuowane. Gracz, który otrzymał od partnera liczbę 1, przegrywa. Który z grających może zapewnić sobie wygraną, jeżeli gracz pierwszy wylosował
a) żeton z liczbą 1975,
b) żeton z liczbą 1976?

Rozwiązanie

Każdy dzielnik liczby nieparzystej jest liczbą nieparzystą, a różnica liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Wobec tego gracz, który otrzymał liczbę nieparzystą, przekazuje partnerowi liczbę parzystą. Jeżeli więc gracz przekaże partnerowi liczbę nieparzystą, to otrzyma od niego liczbę parzystą, a więc różną od $ 1 $. Liczba $ 1 $ jest dzielnikiem właściwym każdej liczby naturalnej parzystej $ 2k $, a różnica $ 2k - 1 $ jest liczbą nieparzystą. Zatem gracz, który otrzymał liczbę parzystą, może zawsze przekazać partnerowi liczbę nieparzystą.

Wobec powyższego gracz, który wylosował liczbę parzystą, może zapewnić, sobie wygraną. Wystarczy mianowicie, by za każdym razem przekazywał partnerowi liczbę o $ 1 $ mniejszą od otrzymanej. Będzie więc za każdym razem otrzymywał od partnera liczbę parzystą. Gracz, który wylosował liczbę nieparzystą, nie może zapewnić sobie wygranej, ponieważ za pierwszym razem musi przekazać partnerowi liczbę parzystą, a ten może zapewnić sobie wygraną.

W szczególności, jeżeli gracz pierwszy wylosował żeton z liczbą $ 1975 $, to gracz drugi może zapewnić sobie wygraną. Jeżeli zaś gracz pierwszy wylosował żeton z liczbą $ 1976 $, to gracz pierwszy może zapewnić sobie wygraną.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź