XXVII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem

\[<br />
f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i}<br />
\]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ są danymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie

Jak wiadomo, zachodzą następujące nierówności:

\[<br />
|x + y| \leq |x| + |y| \ \textrm{oraz}\ \sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b},\<br />
\textrm{gdzie}\ a,\ b \geq 0.<br />
\]

Wobec tego dla dowolnej liczby rzeczywistej $ t $ mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sqrt{|x_i - x_1|} = \sqrt{|(x_i-t) + (t-x_1)|} \leq \sqrt{|x_i-t| + |t-x_1|} \leq \\<br />
& \leq \sqrt{|x_i - t|} + \sqrt{|t- x_1|}.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem

\[<br />
f(x_1) = \sum_{i=1}^n \frac{|x_i-x_1|}{2^i} = \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|x_i-x_1|}}{2^i} \leq \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i}<br />
+ \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|t-x_1|}}{2^i},<br />
\]

gdzie $ t $ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Na mocy wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego mamy

\[<br />
\sum_{i=2}^n \frac{1}{2^i} =<br />
\frac{1}{4} \cdot \frac{\displaystyle 1-\left( \frac{1}{2}\right)^{n-1}}{\displaystyle 1 - \frac{1}{2}} <<br />
\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 -\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}.<br />
\]

Wynika stąd, że

\[<br />
\sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|t-x_1|}}{2^i} = \sqrt{|t-x_1|} \sum_{n=2}^n \frac{1}{2^i} < \frac{1}{2}\sqrt{|t-x_1|}<br />
\]

dla $ t \ne x_1 $. Wobec tego

\[<br />
f(x_1) < \sum_{i=2}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i} + \frac{1}{2} \sqrt{|t-x_1|} = \sum_{n=1}^n \frac{\sqrt{|x_i-t|}}{2^i} = f(t)<br />
\]

dla $ t \ne x_1 $.

Dowiedliśmy więc, że najmniejszą wartość w zbiorze liczb rzeczywistych funkcja $ f $ przybiera w punkcie $ x_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź