XXVII OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 istnieją takie punkty $ P $ i $ Q $, że dowolny punkt powierzchni tego czworościanu można połączyć z jednym z punktów $ P $, $ Q $ łamaną długości $ \leq \frac{\sqrt{3}}{3} $ leżącą na powierzchni czworościanu.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że jako punkty $ P $ i $ O $ można wziąć środki krawędzi $ \overline{AB} $ i $ \overline{CD} $ danego czworościanu foremnego $ ABCD $. Rozpatrzmy rozwinięcie płaskie dwóch ścian $ ABC $ i $ BCD $ tego czworościanu. Otrzymana figura płaska $ ABCD $ jest rombem o boku długości $ 1 $ i kącie ostrym $ \measuredangle A = 60^\circ $ (rys. 8). Niech punkt $ P' $ dziekodcinek $ \overline{PC} $ w stosunku $ 2 \colon 1 $ i podobnie - punkt $ Q' $ dzieli odcinek $ \overline{QB} $ w stosunku $ 2 \colon 1 $. Mamy więc $ P'C =\frac{1}{3} PC = \frac{1}{3} AC \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{6} $. Ponieważ $ \measuredangle<br />
 PCD = \measuredangle PCB + \measuredangle BCD = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $, więc trójkąt $ PCQ $ jest prostokątny.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy

\[<br />
P'Q^2 = P'C^2 + CQ^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3},<br />
\]

czyli $ P'Q = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Analogicznie obliczamy, że $ Q'B = \frac{\sqrt{3}}{3} $ i $ Q'P = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Wobec tego $ PP' = 2P'C = \frac{\sqrt{3}}{3} $ podobnie $ QQ' = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Mamy też $ PB = QC = \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Wynika stąd, że czworokąt $ PBQ'P' $ jest zawarty w kole o środku w punkcie $ P $ i promieniu długości $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ i podobnie - czworokąt $ QCP'Q' $ jest zawarty w kole o środku w punkcie $ Q $ i promieniu długości $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. W szczególności więc każdy punkt trójkąta $ BCP $ jest odległy od jednego z punktów $ P $ i $ O $ nie więcej niż o $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Podobnie przebiega dowód analogicznej własności dla każdego z $ 8 $ trójkątów, na które dzielą ściany danego czworościanu wysokości o spodkach w punktach $ P $ lub $ Q $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź