XXVII OM - I - Zadanie 9

W koło o promieniu 1 wpisano trójkąt o długościach boków $ a, b, c $. Dowieść, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 > 8 $, prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 = 8 $, rozwartokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $ a^2 + b^2 + c^2 < 8 $.

Rozwiązanie

Z twierdzenia sinusów mamy $ \displaystyle 2 = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $, gdzie $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są kątami rozważanego trójkąta leżącymi naprzeciwko boków o długości $ a $, $ b $, $ c $ odpowiednio. Stąd

\[<br />
(1) \qquad a = 2 \sin \alpha,\ b = 2 \sin \beta,\ c = 2 \sin \gamma.<br />
\]

Z twierdzenia cosinusów mamy $ a^2 + b^2 = c^2 + 2ab \cos \gamma $. Zatem na mocy (1) otrzymujemy

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 = 2c^2 + 2ab \cos \gamma = 8 (\sin^2 \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma) = 8(1 - \cos \gamma(\cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta)).<br />
\]

Ponieważ $ \gamma = \pi - (\alpha + \beta) $, więc $ \cos \gamma = -\cos (\alpha + \beta) = = \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta $. Wynika stąd, że

\[<br />
(2) a^2 + b^2 + c^2 = 8 + 8\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma.<br />
\]

Jeżeli kąty $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są ostre, to liczby $ \cos \alpha $, $ \cos \beta $, $ \cos \gamma $ są dodatnie; jeżeli jeden z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ jest prosty, to jedna z tych liczb jest równa zeru; jeżeli zaś jeden z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ jest rozwarty, to jedna z tych liczb jest ujemna. Zatem liczba $ \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $ jest dodatnia (równa zeru, ujemna) wtedy i tylko wtedy, gdy dany trójkąt jest ostrokątny (odpowiednio: prostokątny lub rozwartokątny). Wobec tego z (2) wynika teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź