XXVII OM - I - Zadanie 10

Punkty $ A', B', C', D' $ płaszczyzny $ Q $ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $ A, B, C, D $ płaszczyzny $ P $, przy czym punkty $ A, B, C, D, A', B', C', D' $ są różne i żadne trzy spośród nich nie leżą na prostej. Dowieść, że czworościany $ ABCD' $ i $ A'B'C'D $ mają równe objętości.

Rozwiązanie

Niech $ E $ będzie punktem przecięcia prostych $ AC $ i $ BD $, a $ E' $ - punktem przecięcia prostych $ A'C' $ i $ B'D' $ (rys. 9). Ponieważ punkty $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ są odpowiednio rzutami równoległymi punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, więc rzutami prostych $ AC $ i $ BD $ są odpowiednio proste $ A'C' $ i $ B'D' $ i wobec tego rzutem punktu $ E $ jest punkt $ E' $.

Wynika stąd, że

\[<br />
(1) \qquad  AA' \parallel BB' \parallel CC' \parallel DD' \parallel EE'.<br />
\]

Proste $ AA' $ i $ CC' $ są więc równoległe do płaszczyzny $ BB'D'D $. Niech $ h_1 $ i $ h_2 $ będą odpowiednio odległościami tych prostych od tej płaszczyzny.

Czworościan $ ABCD' $ jest sumą czworościanów $ ABD'E $ i $ CBD'E $. Traktując trójkąt $ BD'E $ jako podstawę każdego z tych czworościanów obliczamy ich objętości:

\[<br />
V_{ABD'E} = \frac{1}{3}\ h_1 \cdot S_{BD'E'}, \quad  V_{CBD'E} = \frac{1}{3}\ h_2 \cdot S_{BD'E}.<br />
\]

Wobec tego objętość czworościanu $ ABCD' $ jest równa

\[<br />
(2) \qquad V_{ABCD'} = \frac{1}{3} (h_1 + h_2)S_{BD'E}.<br />
\]

Analogicznie traktując czworościan $ A'B'C'D $ jako sumę czworościanów $ A'B'DE' $ i $ C'B'DE' $ obliczamy, że jego objętość wyraża się wzorem

\[<br />
(3) \qquad V_{A'B'C'D} = \frac{1}{3}(h_1 + h_2) S_{B'DE'}.<br />
\]

Ze wzorów (2) i (3) wynika, że dla rozwiązania zadania wystarczy jeszcze udowodnić równość pól trójkątów $ BD'E $ i $ B'DE' $:

\[<br />
(4) \qquad S_{BD'E} = S_{B'DE'}.<br />
\]

Na mocy (1) figura $ BB'D'D $ jest trapezem o podstawach $ BB' $ i $ DD' $, a prosta $ EE' $ jest równoległa do jego podstaw (rys. 10). Jeżeli $ h_3 $ i $ h_4 $ są odpowiednio odległościami prostej $ EE' $ od prostych $ BB' $ i $ DD' $, to

\[<br />
S_{DD'B} = \frac{1}{2} DD' \cdot (h_3 + h_4),\quad<br />
S_{DD'E} = \frac{1}{2} DD' \cdot h_4.<br />
\]

Wobec tego $ S_{BD'E} = S_{DD'B} - S_{DD'E} = \frac{1}{2} DD' \cdot h_3 $.

Analogicznie dowodzimy, że $ S_{B'DE'} = \frac{1}{2} DD' \cdot h_3 $. Wynika stąd równość (4).

Uwaga: Powyższe rozumowanie i rysunki dotyczyły przypadku, gdy czworokąt $ ABCD $ jest wypukły. Gdy jest on wklęsły, rozumowanie przebiega podobnie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź