XXVII OM - I - Zadanie 11

Stacje nadawczo-odbiorcze są kolejno ze sobą połączone: $ S_0 $ z $ S_1 $, $ S_1 $ z $ S_2 $, ..., $ S_n $ z $ S_{n+1} $, ... Stacja $ S_0 $ nadaje sygnał 1 lub -1, stacja $ S_1 $ odbiera z prawdopodobieństwem $ 1 - \varepsilon $ ten sam sygnał, a z prawdopodobieństwem $ \varepsilon $ sygnał przeciwny. Stacja $ S_1 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_2 $ na tych samych zasadach, następnie stacja $ S_2 $ nadaje odebrany sygnał do stacji $ S_3 $, itd. Niech $ p^n(i|j) $ oznacza prawdopodobieństwo, że stacja $ S_n $ odbiera sygnał $ i $ pod warunkiem, że stacja $ S_0 $ nadała sygnał $ j $. Oblicz $ \lim_{n\to \infty} p^n(i|j) $.

Rozwiązanie

Mamy oczywiście $ p^n(1 \mid 1) =p^n(-1 \mid -1) $, $ p^n(1 \mid 1) + p^n(1 \mid -1) =  1 $ i $ p^n(-1 \mid  1) + p^n(- 1\mid -1 ) = 1 $. Wobec tego $ p^n(1 \mid -1) = p^n(-1 \mid 1) $.

Z powyższych równości wynika, że granice ciągów $ (p^n(1 \mid 1)) $ i $ (p^n (-1 \mid  - 1)) $ są równe i podobnie granice ciągów $ (p^n (1 \mid - 1)) $ i $ (p^n(-1 \mid 1)) $ są równe, a granice ciągów $ (p^n(1 \mid -1)) $ i $ (p^n(1 \mid 1)) $ w sumie dają $ 1 $. Jeżeli zaś ciąg $ (p^n(1 \mid 1)) $ nie ma granicy, to i żaden z ciągów $ (p^n(- 1 \mid -1)) $, $ (p^n(1 \mid -1)) $ i $ (p^n(-1 \mid 1)) $ nie ma granicy. Wystarczy więc znaleźć granicę ciągu $ (p^n(1 \mid 1)) $.

Jeżeli stacja $ S_0 $ nadała sygnał $ 1 $ i stacja $ S_{n+1} $ odebrała sygnał $ 1 $, to są dwie możliwości:

(a) albo stacja $ S_n $ odebrała sygnał $ 1 $ i wtedy stacja $ S_{n+1} $ odebrała ten sam sygnał; prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $ p^n(1 \mid 1) \cdot (1- \varepsilon) $,

(b) albo stacja $ S_n $ odebrała sygnał $ - 1 $ i wtedy stacja $ S_{n+1} $ odebrała sygnał przeciwny; prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe $ p^n(1 \mid -1) \cdot \varepsilon= (1- p^n(1 \mid 1)) \cdot \varepsilon $.

Wobec tego

\[<br />
p^{n+1}(1 \mid 1) =p^n(1 \mid 1) \cdot (1 - \varepsilon)+ (1-p^n(1 \mid 1)) \cdot \varepsilon = p^n(1 \mid 1) \cdot (1 - \varepsilon)+ \varepsilon.<br />
\]

Oznaczając $ p^k(1  \mid 1) $ krócej przez $ p_k $ dla $ k = 1, 2, \ldots $ możemy powyższą równość zapisać w postaci

\[<br />
(1) \qquad p_{n+1} - \frac{1}{2} = (p_n - \frac{1}{2})(1- 2\varepsilon).<br />
\]

Z (1) wynika, że $ \displaystyle \left( p_n - \frac{1}{2} \right) $ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $ 1 - 2\varepsilon $. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest $ \displaystyle p_1 - \frac{1}{2} = p^1(1 \mid 1) - \frac{1}{2} =(1 - \varepsilon)-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \varepsilon $. Wobec tego ze wzoru na $ n $-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymujemy

\[<br />
p_n - \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2} - \varepsilon \right) (1 - 2\varepsilon)^{n-1} = \frac{1}{2} (1 - 2 \varepsilon)^n,\ \textrm{tzn.}<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1-2 \varepsilon)^n.<br />
\]

Z warunków zadania wynika, że $ 0 \leq \varepsilon \leq 1 $. Z (2) otrzymujemy, że jeżeli $ \varepsilon = 0 $, to $ \displaystyle p^n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $ i wobec tego $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = 1 $.

Jeżeli zaś $ \varepsilon = 1 $, to $ \displaystyle p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (-1)^n $. Wyrazy ciągu $ (p_n) $ są więc na przemian równe $ 0 $ i $ 1 $. Ciąg ten nie ma granicy. Jeżeli zaś $ 0 < \varepsilon < 1 $, to $ - 1 < 1 - 2\varepsilon < 1 $ i wobec tego $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(1 - 2 \varepsilon)^n = 0 $. Wynika stąd i z (2), że w tym przypadku $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} p^n = \frac{1}{2} $.

Dowiedliśmy więc, że jeżeli $ \varepsilon = 0 $, to

\[<br />
\displaystyle \lim_{n \to \infty} p^n(1 \mid 1) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} p^n (-1 \mid -1)= 1\ \textrm{i}<br />
\]
\[<br />
\displaystyle \lim_{n \to \infty} p^n(1 \mid -1) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} p (-1 \mid 1) = 0;<br />
\]

jeżeli $ 0 < \varepsilon < 1 $, to

\[<br />
\displaystyle \lim_{n \to \infty} p (i \mid j) = \frac{1}{2} \ \textrm{dla}\ i,j \in \{-1, 1\};<br />
\]

a jeżeli $ \varepsilon = 1 $, to żaden z ciągów $ (p^n(i \mid j)) $, gdzie $ i, j \in \{-1, 1\} $, nie ma granicy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź