XXVII OM - I - Zadanie 12

Ciąg $ (x_n) $ określony jest wzorami $ x_0 = 25 $, $ x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} $ ($ n = 1, 2, \ldots $) Dowieść, że $ x_n > 1975 $ dla $ n > 1950000 $.

Rozwiązanie

Udowodnimy ogólniejsze
Twierdzenie. Jeżeli $ \displaystyle x_0 > \frac{1}{2} $ i $ x_{n} = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} $ dla $ n = 1, 2, \ldots $, to dla każdej liczby naturalnej $ N $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{x_0^2 + 2N} < x_N > \frac{1}{2x_0} + \sqrt{x_0^2 + 2N}.<br />
\]

Dowód. Wyrazy ciągu $ (x_{n}) $ są oczywiście liczbami dodatnimi. Wobec tego $ x_n = x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} > x_{n-1} $ dla $ n=1, 2, \ldots $ tzn. ciąg
$ (x_{n}) $ jest rosnący.

Podnosząc obustronnie równość $ x_{n} = x_{n-1}+ \frac{1}{x_{n-1}} $ do kwadratu otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad x_n^2 = x_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{x^2_{n-1}}<br />
\]

i stąd $ x_n^2 - x_{n-1}^2 > 2 $. Podstawiając tu kolejno $ n = 1, 2, \ldots, N $ i dodając stronami otrzymane nierówności uzyskujemy $ x^2_N - x^2_0 > 2N $, czyli

\[<br />
(3) \qquad x_N > \sqrt{x_0^2 + 2N}.<br />
\]

Z drugiej strony, ponieważ ciąg $ (x_{n}) $ jest rosnący i jego wyrazy są liczbami dodatnimi, więc

\[<br />
\frac{1}{x^2_{n-1}} = \frac{1}{x_{n-1}} \frac{1}{x_{n-1}} \leq<br />
\frac{1}{x_0} \frac{1}{x_{n-1}} = \frac{1}{x_0} (x_n - x_{n-1}).<br />
\]

Wobec tego z (2) otrzymujemy

\[<br />
x_n^2 - x_{n-1}^2 \leq 2 + \frac{1}{x_0} (x_n - x_{n-1}).<br />
\]

Podstawiając tu kolejno $ n = 1,2, \ldots, N $ i dodając stronami otrzymane nierówności uzyskujemy

\[<br />
x_N^2 - x_0^2 \leq 2N + \frac{1}{x_0} (x_N - x_0) = 2N + \frac{x_N}{x_0} - 1.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\left( x_N - \frac{1}{2x_0} \right)^2 = x_N^2 - \frac{x_N}{x_0} + \frac{1}{4x_0^2} \leq x_0^2 + 2N - 1 + \frac{1}{4x_0^2} < x^2 + 2N,<br />
\]

ponieważ $ x_0^2 > \frac{1}{2} $.

Stąd otrzymujemy $ x_N - \frac{1}{2x_0} < \sqrt{x_0^2 + 2N} $ i wobec tego na mocy (3) mamy tezę twierdzenia.

Jeżeli $ x_0 = 25 $ i $ N > 1950000 $, to z (1) wynika, że $ x_N > \sqrt{x_0^2}+ 2N > \sqrt{25^2 + 2 \cdot 1950000} = \sqrt{1975^2} = 1975 $, co daje rozwiązanie zadania.

Zauważmy jeszcze, że dla $ x_0 = 25 $ i $ N= 1950000 $ z (1) wynika, że
$ x_N < \frac{1}{2 \cdot 25} + \sqrt{25^2 + 2 \cdot 1950000} = \frac{1}{50} + 1975 = 1975,02 $.

Wzór (1) pozwala więc wyznaczyć liczbę $ x_{N} $ z błędem mniejszym od $ 0,01 $. Mianowicie, z powyższego wynika, że

\[<br />
|x_{1950000} - 1975,01| < 0,01.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź