LVIII OM - I - Zadanie 9

Niech $ F(k) $ będzie iloczynem wszystkich dodatnich dzielników liczby całkowitej dodatniej $ k $. Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby całkowite dodatnie $ m $, $ n $, dla których $ {F(m)=F(n)} $.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Takie liczby $ m $ i $ n $ nie istnieją.

Niech $ 1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n $ będą wszystkimi dodatnimi dzielnikami ustalonej liczby całkowitej dodatniej $ n $. Wówczas $ n/d_1 $, $ n/d_2 $, $ \ldots $, $ n/d_k $ także są wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby $ n $, zatem możemy napisać

\[<br />
F(n)=d_1\cdot d_2\cdot\ldots\cdot d_k= {n\over d_1}\cdot{n\over d_2}\cdot\ldots\cdot{n\over d_k}.<br />
\]

Stąd wynika, że

\[<br />
F(n)=\root\of{d_1\cdot d_2\cdot\ldots\cdot d_k\cdot<br />
{n\over d_1}\cdot{n\over d_2}\cdot\ldots\cdot{n\over d_k}}<br />
=\root\of{n^k}=n^{k/2}=n^{d(n)/2},<br />
\]

gdzie $ d(n) $ oznacza liczbę wszystkich dodatnich dzielników liczby $ n $.

Przypuśćmy teraz, że dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $ m $, $ n $ zachodzi równość $ F(m)=F(n) $. Wtedy $ m^{d(m)/2}=n^{d(n)/2} $, a więc uzyskujemy zależność $ m^{d(m)}=n^{d(n)} $. Zatem (patrz: {\it Uwaga\/}) liczby $ m $, $ n $ są potęgami tej samej liczby całkowitej dodatniej: $ m=w^c $ i $ n=w^b $ dla pewnych liczb całkowitych dodatnich $ w $, $ b $, $ c $.

Załóżmy, że $ c<b $. Wtedy $ m $ jest potęgą tej samej liczby całkowitej dodatniej co $ n $, ale o mniejszym wykładniku. Stąd wynika, że $ m<n $ oraz - ponieważ każdy dzielnik liczby $ m $ jest także dzielnikiem liczby $ n $ - zachodzi $ d(m)\le d(n) $. Wobec tego $ m^{d(m)}<n^{d(n)} $ i otrzymaliśmy sprzeczność. Podobna sprzeczność powstaje przy założeniu $ c>b $. Musi więc być $ c=b $, skąd otrzymujemy $ m=w^c=w^b=n $.

Uwaga: W powyższym rozwiązaniu skorzystaliśmy z następującego faktu: jeżeli liczby całkowite dodatnie $ k $, $ l $, $ r $, $ s $ spełniają równość $ k^r=l^s $, to $ k $ i $ l $ są potęgami tej samej liczby całkowitej dodatniej.

Ażeby to udowodnić, weźmy $ a=\mathrm{NWD}(r,s) $ i niech $ r=ab $, $ s=ac $; liczby całkowite dodatnie $ b $ i $ c $ są względnie pierwsze. Ponadto z równości $ {k^r=l^s} $ otrzymujemy $ k^b=l^c $. Stąd wynika, że jeżeli $ p $ jest dowolnym dzielnikiem pierwszym liczby $ k $ oraz $ t $ jest taką liczbą całkowitą dodatnią, że $ k $ dzieli się przez $ p^t $ i nie dzieli sie przez $ p^{t+1} $, to liczba $ k^b $ dzieli się przez $ p^{bt} $ i nie dzieli się przez $ p^{bt+1} $.

Jednakże $ k^b $ jest jednocześnie $ c $-tą potęgą liczby całkowitej $ l $, zatem $ c $ musi być dzielnikiem iloczynu $ bt $. Skoro zaś $ b $ i $ c $ są względnie pierwsze, liczba $ c $ musi być dzielnikiem liczby $ t $. Tak więc każdy dzielnik pierwszy liczby $ k $ wchodzi do jej rozkładu na czynniki pierwsze z wykładnikiem podzielnym przez $ c $, przeto $ k $ jest $ c $-tą potęgą liczby całkowitej. Wobec tego z równości $ k^b=l^c $ wynika, że $ l=(\root{\scriptstyle c}\of{k})^b $, czyli $ k $ i $ l $ są potęgami liczby całkowitej $ \root{\scriptstyle c}\of{k} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź