XXVII OM - II - Zadanie 3

Rozważamy czaszę kulistą nie zawierającą żadnego kola wielkiego. Odległość punktów $ A $ i $ B $ na takiej czaszy określamy jako długość tego łuku koła wielkiego kuli o końcach w punktach $ A $ i $ B $, który jest zawarty w czaszy. Wykazać, że nie istnieje izometria odwzorowująca tę czaszę na podzbiór płaszczyzny.
Uwaga. Czasza kulista jest to każda z dwóch części, na które dzieli powierzchnię kuli płaszczyzna przecinająca tę kulę.

Rozwiązanie

Niech dana czasza kulista odpowiada kątowi środkowemu $ \alpha $. Z założenia mamy $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Dla dowolnego kąta $ \beta $ spełniającego $ 0 < \beta < \alpha $ rozpatrzmy ostrosłup prawidłowy $ OABCD $, którego podstawą jest kwadrat $ ABCD $ wpisany w daną czaszę kulistą, a wierzchołkiem $ O $ - środek sfery zawierającej tę czaszę, i taki, że $ \measuredangle AOC = \beta $ (rys. 13). Niech $ \measuredangle AOD = \gamma $ i niech punkty $ P $ i $ Q $ będą odpowiednio środkami odcinków $ \overline{AD} $ i $ \overline{AC} $.

Mamy następujące zależności

\[<br />
AQ = AP \sqrt{2},<br />
\]
\[<br />
AP = AO \sin \measuredangle AOP = AO \sin \frac{\gamma}{2},<br />
\]
\[<br />
AQ = AO \sin \measuredangle AOQ = AO \sin \frac{\beta}{2}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
(1) \qquad \sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\gamma}{2}.<br />
\]

Jeżeli $ R $ jest długością promienia sfery zawierającej daną czaszę kulistą, to odległości punktów $ A $ i $ C $ oraz punktów $ B $ i $ D $ na czaszy są równe $ R\beta $, a odległości punktów $ A $ i $ B $, $ B $ i $ C $, $ C $ i $ D $ oraz $ D $ i $ A $ na czaszy są równe $ R\gamma $.

Jeżeli istnieje izometria $ \varphi $ danej czaszy kulistej na podzbiór płaszczyzny, to $ \varphi(A) \varphi (B)\varphi (C) \varphi (D) $ jest takim czworokątem na płaszczyźnie, że $ \varphi(A)\varphi(B) = \varphi(B)\varphi(C) = \varphi(C)\varphi(D) = \varphi(D)\varphi(A) = R \gamma $. Jest to więc romb. Jego przekątne mają równe długości: $ \varphi(A)\varphi(C) = \varphi(B) \varphi(D) = R\beta $. Rozważany czworokąt jest więc kwadratem. Wobec tego $ \varphi(A)\varphi(C) = \sqrt{2}\varphi(A)\varphi(B) $, czyli

\[<br />
(2) \qquad \beta =\sqrt{2} \gamma.<br />
\]

Z (1) i (2) wynika, że $ \sin \frac{\beta}{2} = \sqrt{2} \sin \frac{\beta}{2\sqrt{2}} $ dla każdego kąta $ \beta $ spełniającego $ 0 < \beta < \alpha $. Podstawiając tu w szczególności na miejsce $ \beta $ kąt $ \frac{\beta}{\sqrt{2}} $ otrzymujemy $ \sin \frac{\beta}{2\sqrt{2}}= \sqrt{2} \sin \frac{\beta}{4} $. Z ostatnich dwóch równości wynika, że $ \sin \frac{\beta}{2} =2 \sin \frac{\beta}{4} $. Z drugiej strony mamy $ \sin \frac{\beta}{2} = 2 \sin    \frac{\beta}{4} \cos \frac{\beta}{4} $. Porównując uzyskane wyniki otrzymujemy, że $ cos \frac{\beta}{4} = 1 $. Jest to niemożliwe, ponieważ $ 0 < \frac{\beta}{4} < \frac{\alpha}{4} < \frac{\pi}{8} $.

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje izomeria $ \varphi $ danej czaszy kulistej na podzbiór płaszczyzny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź