XXVII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli $ \cos \pi x =\frac{1}{3} $ to $ x $ jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Niech $ \cos t = \frac{1}{3} $. Udowodnimy przez indukcję, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi wzór

\[<br />
(1) \qquad \cos nt = \frac{a_n}{3^n},<br />
\]

gdzie $ a_n $ jest liczbą całkowitą niepodzielną przez $ 3 $.

Dla $ n=1 $ wystarczy przyjąć $ a_1 = 1 $. Dla $ n = 2 $ mamy

\[<br />
\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{-7}{3^2}.<br />
\]

Zatem $ a_2= -7 $. Załóżmy z kolei, że dla pewnej liczby naturalnej $ k $ zachodzi

\[<br />
\cos kt = \frac{a_k}{3^k} \ \textrm{i} \    \cos (k+1)t =\frac{a_{k+1}}{3^{k+1}},<br />
\]

gdzie $ a_k $ i $ a_{k+1} $ są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez $ 3 $. Mamy $ \cos (k + 2)t + \cos kt = 2\cos (k + 1)t \cdot \cos t $. Zatem

\[<br />
\cos (k + 2)t = 2 \frac{a_{k+1}}{3^{k+1}} \cdot \frac{1}{3} - \frac{a_k}{3^k} = \frac{2a_{k+1} - 9a_k}{3^{k+2}}.<br />
\]

Liczba $ a_{k+2} = 2a_{k+1} - 9a_k $ oczywiście jest całkowita i niepodzielna przez $ 3 $. Wobec tego na mocy zasady indukcji wzór (1) zachodzi dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Przypuśćmy teraz, że dla pewnej liczby wymiernej $ x = \frac{r}{s} $ zachodzi
$ \cos \pi x = \frac{1}{3} $. Wtedy $ t = \pi x $ i na mocy wzoru (1) przy $ n = 2s $ mamy

\[<br />
(2) \qquad \cos 2s \pi x = \frac{a_{2s}}{3^{2s}},<br />
\]

gdzie $ a_{2s} $ jest liczbą całkowitą niepodzielną przez $ 3 $.

Z drugiej strony mamy

\[<br />
\cos 2s \pi x= \cos 2 s \pi \frac{r}{s} = \cos 2 \pi r = 1.<br />
\]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że dla żadnej liczby wymiernej $ x $ nie zachodzi $ \cos \pi x = \frac{1}{3} $.

Uwaga. Rozumując podobnie można udowodnić, że jeżeli liczba $ \cos \pi x $ jest wymierna i różna od $ 0 $, $ \pm \frac{1}{2} $ i $ \pm 1 $, to $ x $ jest liczbą niewymierną.

Patrz też artykuły w czasopiśmie Matematyka nr 5(128) z 1973 r str. 313-317 oraz „r 3(132) z 1974 r, str. 168-172.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź