XXVII OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie umieszczono sześć punktów w ten sposób, że każde trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o bokach różnej długości. Udowodnić, że najkrótszy bok pewnego z tych trójkątów jest zarazem najdłuższym bokiem innego z nich.

Rozwiązanie

Niech $ P_1, P_2, \ldots, P_6 $ będą danymi punktami. W każdym z trójkątów $ P_iP_jP_k $ pomalujmy najkrótszy bok na czerwono. W ten sposób pewne odcinki $ \overline{P_rP_s} $ zostały pomalowane na czerwono, a pewne pozostały nie pomalowane.

Wystarczy udowodnić, że istnieje trójkąt o wierzchołkach w danych punktach, którego wszystkie boki zostały pomalowane na czerwono. Najdłuższy bok tego trójkąta jest bowiem równocześnie najkrótszym bokiem pewnego innego trójkąta, ponieważ został pomalowany na czerwono. Z każdego z danych punktów wychodzi pięć odcinków łączących go z pozostałymi danymi punktami. Zatem albo co najmniej $ 3 $ z tych odcinków są pomalowane na czerwono, albo co najmniej $ 3 $ są nie pomalowane.

Jeżeli z punktu $ P_1 $ wychodzą co najmniej trzy odcinki pomalowane na czerwono (np. odcinki $ \overline{P_1P_2} $, $ \overline{P_1P_3} $, $ \overline{P_1P_4} $ są pomalowane na czerwono), to również w trójkącie wyznaczonym przez drugie końce tych odcinków (tzn. w trójkącie $ P_2P_3P_4 $) co najmniej jeden z boków (mianowicie najkrótszy) jest pomalowany na czerwono. Niech np. odcinek $ \overline{P_2P_3} $ będzie pomalowany na czerwono. Wtedy w trójkącie $ P_1P_2P_3 $ wszystkie boki są pomalowane na czerwono.

Jeżeli zaś z punktu $ P_1 $ wychodzą co najmniej trzy odcinki nie pomalowane (niech to będą odcinki $ \overline{P_1P_2} $, $ \overline{P_1P_3} $, $ \overline{P_1P_4} $) to rozważmy trójkąty $ P_1P_2P_3 $, $ P_1P_2P_4 $, $ P_1P_3P_4 $. W każdym z nich co najmniej jeden z boków jest pomalowany na czerwono, lecz nie jest to bok zawierający wierzchołek $ P_1 $. Wobec tego odcinki $ \overline{P_2P_3} $, $ \overline{P_2P_4} $, $ \overline{P_3P_4} $, są pomalowane na czerwono, tzn. trójkąt $ P_2P_3P_4 $ ma wszystkie boki pomalowane na czerwono.

Uwaga 1. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że dane punkty należą do płaszczyzny.

Uwaga 2. Tezę zadania można również otrzymać rozumując podobnie, jak w rozwiązaniu zadania 15 (3) z XXII Olimpiady Matematycznej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź