XXVII OM - III - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy liczba

\[<br />
\sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{3\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18} \sin \frac{9\pi}{18}<br />
\]

jest wymierna.

Rozwiązanie

Korzystając trzykrotnie ze wzoru $ \sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a $ otrzymujemy

\[<br />
\sin \frac{8 \pi}{18} =<br />
2 \sin \frac{4 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18} =<br />
4 \sin \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18}=<br />
8 \sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18} \cos \frac{2 \pi}{18} \cos \frac{4 \pi}{18}.<br />
\]

Ponieważ $ \cos a = \sin \left( \frac{\pi}{2} - a \right) $, więc z udowodnionej równości wynika, że

\[<br />
\sin \frac{8 \pi}{18} = 8 \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{8 \pi}{18}<br />
\sin \frac{7 \pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
(1) \qquad<br />
\sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18} \sin \frac{7 \pi}{18} = \frac{1}{8}.<br />
\]

Ponieważ $ \sin \frac{3 \pi}{18} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ i
$ \sin \frac{9 \pi}{18} = \sin \frac{\pi}{2} = 1 $, więc z (1) otrzymujemy, że

\[<br />
\sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{3 \pi}{18} \sin \frac{5 \pi}{18}<br />
\sin \frac{7 \pi}{18} \sin \frac{9 \pi}{18} = \frac{1}{16}.<br />
\]

Liczba dana w zadaniu jest więc wymierna.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź