XXVII OM - III - Zadanie 2

Dane są cztery takie ciągi liczb rzeczywistych $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $, $ (d_n) $, że dla
każdego $ n $

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{n+1} = a_n + b_n,&\quad b_{n+1} = b_n + c_n,\\<br />
c_{n+1} = c_n + d_n,&\quad d_{n+1} = d_n + a_n.<br />
\end{split}<br />
\]

Udowodnić, że jeżeli dla pewnych $ k, m \geq 1 $ jest $ a_{k+m} = a_m $, $ b_{k+m} = b_m $, $  c_{k+m} = c_m $, to $ a_2=b_2=c_2=d_2 $.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że ciągi $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $, $ (d_n) $ są od pewnego miejsca okresowe, a więc i ciągi $ A_n = a_n + b_n + c_n + d_n $ oraz $ B_n = a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2 $ są od pewnego miejsca okresowe. Mamy też $ A_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} + c_{n+1} + d_{n+1}= (a_n + b_n) + (b_n + c_n) + (c_n + d_n) + (d_n + a_n) = 2(a_n + b_n + c_n + d_n) = 2A_n $ i stąd przez łatwą indukcję $ A_{n+1} = 2^nA_1 $ dla $ n \geq 0 $. Ponieważ ciąg $ (2^n) $ dąży do nieskończoności, a ciąg $ (A_n) $ jest od pewnego miejsca okresowy, więc wynika stąd, że $ A_1 = 0 $ i wobec tego $ A_n = 0 $ dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Stwierdzamy następnie, że $ a_{n+1} + c_{n+1} = (a_n + b_n) + (c_n + d_n) = A_n = 0 $. Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
B & _{n+2} = a_{n+2}^2 + b_{n+2}^2 + c_{n+2}^2 + d_{n+2}^2 =<br />
(a_{n+1} + b_{n+1})^2 + (b_{n+1} + c_{n+1})^2 + \\<br />
& + (c_{n+1} + d_{n+1})^2 + (d_{n+1} + a_{n+1})^2=<br />
2(a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 + c_{n+1}^2 + d_{n+1}^2) + \\<br />
& + 2(a_{n+1} + c_{n+1})(b_{n+1} + + d_{n+1}) =<br />
2(a_{n+1}^2 + b_{n+1}^2 + c_{n+1}^2 + d_{n+1}^2) = 2B_{n+1}<br />
\end{split}<br />
\]

dla $ n = 1, 2, \ldots $ i stąd $ B_{n+2} = 2^nB_2 $ dla $ n \geq 1 $.

Podobnie, jak poprzednio, z okresowości ciągu $ (B_n) $ wynika, że $ B_2 = 0 $, czyli $ a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 + d_2^2 = 0 $. Ponieważ liczby $ a_2 $, $ b_2 $, $ c_2 $, $ d_2 $ są rzeczywiste, więc z ostatniej równości otrzymujemy, że $ a_2 = b_2 = c_2 = d_2 = 0 $.

Uwaga 1: Z warunków zadania i powyższego rozwiązania wynika, że $ a_n =<br />
 b_n = c_n = d_n = 0 $ dla $ n \geq 2 $. Jednak liczby $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $, $ d_1 $ mogą byc rożne od zera. Wystarczy mianowicie przyjąć $ a_1 = c_1 = t $, $ b_1 =<br />
d_1 = -t $, gdzie $ t $ jest dowolną liczbą, i wtedy będą spełnione warunki zadania.

Uwaga 2: Zadanie to można uogólnić na przypadek, gdy danych jest $ m $ ciągów okresowych $ (a_n^{(k)}) $, $ k = 1, 2, \ldots, m $ spełniających warunek:

\[<br />
a_{n+1}^{(1)} = a_{n}^{(1)} + a_{n}^{(2)},<br />
a_{n+1}^{(2)} = a_{n}^{(2)} + a_{n}^{(3)},<br />
\ldots,<br />
a_{n+1}^{(m-1)} = a_{n}^{(m-1)} + a_{n}^{(m)},<br />
a_{n+1}^{(m)} = a_{n}^{(m)} + a_{n}^{(1)}.<br />
\]

Jeżeli liczba $ m $ nie jest podzielna przez $ 3 $, to rozumując podobnie, jak w powyższym rozwiązaniu, można udowodnić, że:
1) Jeżeli $ m $ jest liczbą nieparzystą, to pierwsze wyrazy tych ciągów są równe zeru,
2) Jeżeli $ m $ jest liczbą parzystą, to drugie wyrazy tych ciągów są równe zeru.

Jeżeli zaś liczba $ m $ jest podzielna przez $ 3 $, to sytuacja jest zupehnie inna: Istnieją, ciągi o wyrazach różnych od zera spełniające warunki tego ogólniejszego zadania.

Na przykład niech $ m = 3 $. Podamy trzy ciągi $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $ okresowe o okresie długości $ 6 $ i takie, że

\[<br />
(3) \qquad a_{n+1} = a_n + b_n, \quad b_{n+1} = b_n + c_n, \quad c_{n + 1} = c_n +<br />
 a_n.<br />
\]

Niech $ u $ i $ v $ będą dowolnymi liczbami. Pierwszych sześć wyrazów każdego z ciągów $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $ podajemy w tabelce:

\[<br />
\begin{array}{c|ccccccccccc}<br />
\hline \\<br />
a_n & u &, & v &,& v-u &,& -u &,& -v &,& u-v \\<br />
b_n & v-u &,&    -u &,&    -v  &,&     u-v &,&      u &,& v \\<br />
c_n & -v &,& u-v &,&     u &,&       v &,&    v-u &,& -u \\<br />
\hline<br />
\end{array}<br />
\]

Nietrudno sprawdzić, że spełniony jest warunek (3), a dobierając odpowiednio liczby $ u $ i $ v $ (np. $ u = 1 $, $ v = 2 $) otrzymujemy ciągi o wszystkich wyrazach różnych od zera.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź