XXVII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnego czworościanu iloczyny długości jego przeciwległych krawędzi są długościami boków pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie danym czworościanem. Na półprostych $ AB^\to $, $ AC^\to $ i $ AD^\to $ odpowiednio znajdujemy takie punkty $ B' $, $ C' $ i $ D' $, że (1) $ AB' = AC \cdot AD $, $ AC' = AB \cdot AD $, $ AD' = AB \cdot AC $, (rys. 15). Wykażemy, że trójkąt $ B'C'D' $ spełnia warunki zadania.

Przede wszystkim z (1) wynika, że

\[<br />
\frac{AB'}{AC'} = \frac{AC}{AB}.<br />
\]

Wobec tego trójkąty $ ABC $ i $ AC'B' $ ,ające wspólny kąt $ BAC $ są podobne. Stąd

\[<br />
\frac{BC}{C'B'} = \frac{AB}{AC'},<br />
\]

czyli na mocy (1)

\[<br />
B'C' = \frac{BC}{AB} \cdot AC' = BC \cdot AD,<br />
\]

tzn. bok $ \overline{B'C'} $ trójkąt $ B'C'D' $ ma długość równą iloczynowi długości skośnych krawędzi $ \overline{BC} $ i $ \overline{AD} $ czworościanu $ ABCD $.

Rozpatrując podobnie trójkąty $ ACD $ i $ AD'C' $ oraz $ ABD $ i $ AD'B' $ stwierdzamy, że $ C'D' = CD \cdot AB $ oraz $ B'D' = BD \cdot AC $. Istotnie więc trójkąt $ B'C'D' $ spełnia warunki zadania.

Uwaga: Powyższe rozumowanie można też przeprowadzić w przypadku, gdy czworościan $ ABCD $ degeneruje się do czworokąta płaskiego $ ABCD $. Wtedy jednak punkty $ B' $, $ C' $, $ D' $ mogą należeć do jednej prostej. W wyniku takiego rozumowania otrzymujemy, że w dowolnym czworokącie płaskim iloczyn długości przekątnych nie przekracza sumy iloczynów długości przeciwległych boków. Pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie przeprowadzenie szczególowego dowodu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź