XXVII OM - III - Zadanie 4

Przekątne pewnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki mają długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe. Udowodnić, że przekątne dowolnego czworokąta płaskiego, którego kolejne boki maj, długości $ a, b, c, d $, są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ i $ A'B'C'D' $ będą czworokątami płaskimi, których kolejne boki mają długości $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, tzn. niech

\[<br />
\begin{split}<br />
& \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\<br />
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC},\<br />
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{CD},\<br />
\overrightarrow{d} = \overrightarrow{DA},   \\<br />
&\overrightarrow{a'} = \overrightarrow{A'B'},\<br />
\overrightarrow{b'} = \overrightarrow{B'C'},\<br />
\overrightarrow{c'} = \overrightarrow{C'D'},\<br />
\overrightarrow{d'} = \overrightarrow{D'A'},<br />
\end{split}<br />
\]

oraz

\[<br />
\overrightarrow{a^2} = \overrightarrow{a'^2} = a^2,\<br />
\overrightarrow{b^2} = \overrightarrow{b'^2} = b^2,\<br />
\overrightarrow{c^2} = \overrightarrow{c'^2} = c^2,\<br />
\overrightarrow{d^2} = \overrightarrow{d'^2} = d^2.<br />
\]

Mamy też $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =0 $ i $ \overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'} + \overrightarrow{d'} =0 $.
Obliczamy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
d^2 & = \overrightarrow{d^2} = (-\overrightarrow{d})^2 = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})^2 = \overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{c}^2 + 2 \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{b}\overrightarrow{c} + 2 \overrightarrow{c}\overrightarrow{a} =  \\<br />
& = \overrightarrow{a}^2 - \overrightarrow{b}^2 + \overrightarrow{c}^2 + 2 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})=<br />
 a^2 - b^2 + c^2 + 2 (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}).<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd mamy

\[<br />
(1) \qquad (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (b^2 + d^2 - a^2 - c^2).<br />
\]

Analogicznie dowodzimy, że

\[<br />
(2) \qquad<br />
(\overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'})<br />
(\overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'}) =<br />
\frac{1}{2} ((b^2 + d^2 - a^2 - c^2).<br />
\]

Wektory $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} $ i $ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} $ są przekątnymi czworokąta $ ABCD $, a wektory $ \overrightarrow{a'} + \overrightarrow{b'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{A'C'} $ i $ \overrightarrow{b'} + \overrightarrow{c'} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{B'D'} $ - przekątnymi czworokąta $ A'B'C'D' $. Z (1) i (2) wynika więc, że iloczyn skalarny wektorów przekątnych czworokąta $ ABCD $ jest równy iloczynowi skalarnemu wektorów przekątnych czworokąta $ A'B'C'D' $. Ponieważ iloczyn skalarny wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe, więc wynika stąd teza zadania.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z założenia, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, a także punkty $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ należą do jednej płaszczyzny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź