LVIII OM - I - Zadanie 10

Dany jest trójkąt ostrokątny $ ABC $. Punkty $ P $ i $ U $ leżą na boku $ BC $, punkty $ Q $ i $ S $ leżą na boku $ CA $, punkty $ R $ i $ T $ leżą na boku $ AB $, przy czym

\[<br />
\begin{split}<br />
PR\perp BC,\quad<br />
QP\perp CA,\quad<br />
RQ\perp AB, \\<br />
US\perp BC,\quad<br />
ST\perp CA,\quad<br />
TU\perp AB. \\<br />
\end{split}<br />
\]

Dowieść, że trójkąty $ PQR $ i $ STU $ są przystające.

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro $ PR\perp BC $ oraz $ US\perp BC $, to $ PR\parallel US $. Analogicznie $ QP\parallel ST $ oraz $ RQ\parallel TU $. Trójkąty $ PQR $ i $ STU $ są więc podobne, jako trójkąty o odpowiednich bokach równoległych (rys. 4).

om58_1r_img_4.jpg

Z trójkątów prostokątnych $ PUS $ i $ RPU $ odczytujemy zależności

\[<br />
PS^2-US^2=PU^2=RU^2-PR^2\,.<br />
\]

Zachodzi więc równość

\[<br />
(1) \qquad PR^2-US^2=RU^2-PS^2\,.<br />
\]

Podobnie rozważając trójkąty prostokątne $ QST $ i $ PQS $ oraz $ RTU $ i $ QRT $ uzyskujemy analogiczne równości

\[<br />
(2) \qquad QP^2-ST^2=PS^2-QT^2\,,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad RQ^2-TU^2=QT^2-RU^2\,.<br />
\]

Dodając równości $ (1) $, $ (2) $, $ (3) $ stronami otrzymujemy zależności

\[<br />
(4) \qquad (PR^2+QP^2+RQ^2)-(US^2+ST^2+TU^2)=0\,.<br />
\]

Jeśli przez $ k $ oznaczymy skalę podobieństwa trójkątów $ PQR $ i $ STU $, tzn. $ {PR=k\cdot ST} $, $ QP=k\cdot TU $, $ RQ=k\cdot US $, to z równości $ (4) $ wynika natychmiast, że $ k=1 $. A to znaczy, że trójkąty $ PQR $ i $ STU $ są przystające.

Sposób II

Niech okrąg $ o $ opisany na trójkącie $ PQR $ przecina boki $ AB $, $ BC $, $ CA $ po raz drugi odpowiednio w punktach $ T' $, $ U' $, $ S' $ (rys. 5).

om58_1r_img_5.jpg
om58_1r_img_6.jpg

Ponieważ $ \measuredangle PQS'=90^\circ $, więc odcinek $ PS' $ jest średnicą okręgu $ o $. Analogicznie $ QT' $ i $ RU' $ są średnicami tego okręgu. Stąd w szczególności odcinki $ PR $ i $ U'S' $ są równe i równoległe, co oznacza, że $ U'S'\perp BC $. W podobny sposób uzyskujemy

\[<br />
S'T'=QP,\quad S'T'\perp CA,\qquad\quad<br />
T'U'=RQ,\quad T'U'\perp AB.<br />
\]

Wynika stąd, że trójkąty $ PQR $ i $ S'T'U' $ są przystające oraz punkty $ S' $, $ T' $, $ U' $ spełniają te same warunki, co warunki nałożone na punkty $ S $, $ T $, $ U $ w treści zadania.

Wykażemy, że muszą zachodzić równości $ S=S' $, $ T=T' $, $ U=U' $, skąd natychmiast otrzymamy tezę.

Przypuśćmy więc nie wprost, że na przykład $ T\ne T' $. Bez utraty ogólności rozumowania przyjmijmy, że na boku $ AB $ punkt $ T' $ leży pomiędzy punktami $ T $ i $ B $ (rys. 6). Ze względu na prostopadłości $ TU\perp AB $, $ T'U'\perp AB $ mamy $ TU\parallel T'U' $, zatem na boku $ BC $ punkt $ U' $ leży pomiędzy $ B $ i $ U $. Analogicznie punkt $ S' $ leży na boku $ AC $ pomiędzy punktami $ A $ i $ S $ i wreszcie punkt $ T' $ leży na boku $ AB $ pomiędzy $ A $ i $ T $, wbrew wcześniejszemu założeniu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź