XXVII OM - III - Zadanie 5

Statek łowi ryby na wodach terytorialnych obcego państwa, nie mając na to pozwolenia. Każde zarzucenie sieci przynosi połów tej samej wartości. Podczas kolejnego zarzucania sieci prawdopodobieństwo %przychwycenia statku przez straż graniczną wynosi $ \frac{1}{k} $ gdzie $ k $ jest ustaloną liczbą naturalną. Zakładamy, że zdarzenie polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci jest niezależne od dotychczasowego przebiegu połowu. W razie przechwycenia przez straż graniczną, całość dotychczas złowionych ryb ulega konfiskacie i dalszy polów jest niemożliwy. Kapitan planuje powrót po $ n $-tym zarzuceniu sieci. Przy uwzględnieniu ryzyka złapania statku zysk z połowa jest zmienną losową. Znaleźć liczbę $ n $, przy której wartość oczekiwana zysku jest maksymalna.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo zdarzenia, że statek nie zostanie przychwycony przy pewnym zarzuceniu sieci jest równe $ 1 - \frac{1}{k} $. Ponieważ zdarzenia polegające na złapaniu lub niezłapaniu statku przy kolejnym zarzuceniu sieci są niezależne, więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy $ m $-krotnym zarzucaniu sieci statek nie zostanie przychwycony, jest równe $  \left( 1 - \frac{1}{k} \right)^n $. Wartość oczekiwana zysku przy $ n $-krotnym zarzucaniu sieci jest więc równa

\[<br />
(1) \qquad f(n) = w n \left( 1 - \frac{1}{k} \right)^n,<br />
\]

gdzie $ w $ jest wartością zysku przy jednym zarzuceniu sieci.

Zadanie polega wiec na tym, by zbadać, dla jakiej liczby naturalnej $ n $ funkcja $ f $ przybiera wartość maksymalną.

Z (1) wynika, że

\[<br />
\begin{split}<br />
f(n + 1)&  = w(n + 1)\left( 1 - \frac{1}{k} \right)^{n+1}=<br />
w n \left( 1 - \frac{1}{k} \right)^{n} \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \left( \frac{n+1}{n} \right)= \\<br />
& = f(n) \left( 1 - \frac{1}{k} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) =<br />
f(n) \left( 1 + \frac{(k-1)-n}{kn} \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ nierówność $ \displaystyle 1 + \frac{(k-1)-n}{kn} \geq 1 $ jest równoważna nierówności $ (k - 1) - n \geq 0 $, czyli $ n \leq k - 1 $, więc mamy

\[<br />
f(n+1) > f(n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, \ldots, k - 2,<br />
\]
\[<br />
f(n+1) = f(n) \ \textrm{dla} \ n = k-1,<br />
\]
\[<br />
f(n+1) < f(n) \ \textrm{dla} \ n = k, k+1, \ldots<br />
\]

Wobec tego największą wartość funkcja $ f $ przybiera dwukrotnie przy $ n = k - 1 $ i $ n = k $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź